קיץ 2024 · מועד ב

נסמן את מנת הסדרה ב-$q$. כל האיברים חיוביים, ולכן $q>0$.

הנתון הראשון. שני הסכומים, כל אחד עם $2n-1$ איברים:

ללא שני הראשונים: $\;a_3+a_4+\ldots+a_{2n+1}$

ללא שני האחרונים: $\;a_1+a_2+\ldots+a_{2n-1}$

כל איבר בסכום הראשון גדול פי $q^2$ מהאיבר שמתחתיו:

$a_3=a_1q^2,\;\;a_4=a_2q^2,\;\;\ldots,\;\;a_{2n+1}=a_{2n-1}q^2$

לכן הסכום הראשון שווה ל-$q^2$ כפול הסכום השני.

$q^2=4\;\Rightarrow\;q=2$ (הערך $q=-2$ נפסל, כי $q>0$)

הנתון השני. האיבר האמצעי הוא $a_{n+1}$: לפניו $n$ איברים ואחריו $n$ איברים.

לפני: $\;a_1+a_2+\ldots+a_n$

אחרי: $\;a_{n+2}+a_{n+3}+\ldots+a_{2n+1}$

כל איבר "אחרי" גדול פי $q^{n+1}$ מהאיבר המתאים "לפני":

$a_{n+2}=a_1q^{n+1},\;\;\ldots,\;\;a_{2n+1}=a_nq^{n+1}$

לכן: $\;q^{n+1}=256$

בדיקה: בסדרה $2\cdot7+1=15$ איברים, והאיבר האמצעי הוא $a_8$ ✓

מסעיף א: $\;q=2$, ולכן $\;a_{k+1}=2a_k$.

הסכום בסוגריים: $\;a_k+a_{k+1}=a_k+2a_k=3a_k$

מציבים: $\;b_k=\dfrac{1}{\left(3a_k\right)^2}=\dfrac{1}{9a_k^2}$

המנה בין שני איברים עוקבים:

$\dfrac{b_{k+1}}{b_k}=\dfrac{\dfrac{1}{9a_{k+1}^2}}{\dfrac{1}{9a_k^2}}=\dfrac{a_k^2}{a_{k+1}^2}=\left(\dfrac{a_k}{a_{k+1}}\right)^2$

$\dfrac{a_k}{a_{k+1}}=\dfrac{1}{q}=\dfrac12$, ולכן: $\;\dfrac{b_{k+1}}{b_k}=\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14$

המנה קבועה ואינה תלויה ב-$k$, ולכן $B$ היא סדרה הנדסית שמנתה $\dfrac14$. מש״ל

מנת $B$ היא $\dfrac14$. קופצים שני מקומות בכל פעם, ולכן בשתי תת-הסדרות (מקומות זוגיים, מקומות אי-זוגיים) המנה היא $\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{1}{16}$. היא קטנה מ-$1$, ולכן לשתיהן יש סכום אין-סופי.

מקומות אי-זוגיים $b_1,b_3,b_5,\ldots$ (לא הוכפלו):

$S_{\text{odd}}=\dfrac{b_1}{1-\frac{1}{16}}=\dfrac{b_1}{\frac{15}{16}}=\dfrac{16b_1}{15}$

מקומות זוגיים $b_2,b_4,\ldots$: האיבר הראשון $b_2=\dfrac{b_1}{4}$

לפני ההכפלה: $\;\dfrac{\frac{b_1}{4}}{\frac{15}{16}}=\dfrac{4b_1}{15}$

אחרי ההכפלה ב-$2$: $\;S_{\text{even}}=\dfrac{8b_1}{15}$

הנתון: $\;S_{\text{odd}}-S_{\text{even}}=\dfrac{1}{30}$

$\dfrac{16b_1}{15}-\dfrac{8b_1}{15}=\dfrac{1}{30}$

$\dfrac{8b_1}{15}=\dfrac{1}{30}\;\Rightarrow\;b_1=\dfrac{15}{240}=\dfrac{1}{16}$

מסעיף ב: $\;b_1=\dfrac{1}{9a_1^2}$

$\dfrac{1}{9a_1^2}=\dfrac{1}{16}\;\Rightarrow\;9a_1^2=16\;\Rightarrow\;a_1^2=\dfrac{16}{9}$

$a_1=\dfrac43$ (הערך $-\dfrac43$ נפסל, כי כל האיברים חיוביים)