קיץ 2024 · מועד ב

בסיס ($n=1$):

אגף שמאל: $\dfrac{1}{1\cdot2}=\dfrac12$

אגף ימין: $\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12$ ✓

הנחה (עבור $n=k$):

צעד ($n=k+1$), האיבר הנוסף: $\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$

מחברים אותו לאגף ימין של ההנחה: $\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$

מכנה משותף: $\dfrac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}$

פותחים את המונה: $\dfrac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}$

מצמצמים ב-$k+1$: $\dfrac{k+1}{k+2}$

אגף ימין עבור $n=k+1$: $\dfrac{k+1}{(k+1)+1}=\dfrac{k+1}{k+2}$, זהה ✓

הבסיס נכון, ומנכונות הטענה עבור $n=k$ נובעת נכונותה עבור $n=k+1$, ולכן הטענה נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

המלכודת: כל איבר כאן הוא ההופכי של איבר מתת-סעיף (1), והביטוי $\dfrac{n+1}{n}$ הוא ההופכי של $\dfrac{n}{n+1}$. אבל סכום ההופכיים אינו ההופכי של הסכום, ולכן אין סיבה שהשוויון יתקיים.

בודקים $n=1$:

הביטוי: $1\cdot2=2$

$\dfrac{1+1}{1}=2$

כאן יש שוויון, אבל מקרה אחד אינו מוכיח "לכל $n$".

בודקים $n=2$:

הביטוי: $1\cdot2+2\cdot3=2+6=8$

$\dfrac{2+1}{2}=1.5$

$8\neq1.5$

נמצאה דוגמה נגדית, ולכן השוויון אינו מתקיים לכל $n$ טבעי.

למעשה, בעבור כל $n\ge2$ הביטוי שווה ל-$8$ לפחות, ואילו $\dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac1n<2$. השוויון מתקיים רק בעבור $n=1$.

נסמן: $R$ הוא רדיוס המעגל החוסם את $\triangle ABC$ (המעגל שמרכזו $O$), ו-$r$ הוא רדיוס המעגל החוסם את $\triangle AOB$:

משפט הסינוסים ב-$\triangle ABC$: $\;\dfrac{AB}{\sin\alpha}=2R$

ולכן: $\;AB=2R\sin\alpha$

$\angle AOB=2\alpha$ (זווית מרכזית שווה לפעמיים הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת)

משפט הסינוסים ב-$\triangle AOB$, מול הצלע $AB$ נמצאת הזווית $\angle AOB$:

$\dfrac{AB}{\sin2\alpha}=2r$

ולכן: $\;AB=2r\sin2\alpha$

משווים את שני הביטויים ל-$AB$: $\;2R\sin\alpha=2r\sin2\alpha$

$\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}$

זהות הכפל: $\;\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

$\dfrac{R}{r}=\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}=2\cos\alpha$ (הצמצום מותר כי $\sin\alpha\neq0$)

מסעיף (1): $\;2\cos\alpha=\sqrt2\;\Rightarrow\;\cos\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;\alpha=45^{\circ}$ (כי $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$)

במעגל החוסם את $\triangle AOB$, הזווית ההיקפית $\angle AOB$ ישרה, ולכן היא נשענת על קוטר: $AB$ הוא קוטר של המעגל הזה, ומרכזו $M$ הוא אמצע $AB$.

הנקודה $B$ נמצאת גם על המעגל הזה וגם על הישר $CB$, והישר משיק למעגל. לכן $B$ היא נקודת ההשקה.

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה: $\;CB\perp MB$. הקטע $MB$ מונח על $AB$, ולכן $\;\angle ABC=90^{\circ}$.

הסרטוט עם הנתונים והמסקנות:

במעגל שמרכזו $O$, הזווית ההיקפית $\angle ABC$ ישרה, ולכן היא נשענת על קוטר: $AC$ הוא קוטר של המעגל.

קוטר עובר דרך מרכז המעגל, ולכן $O$ נמצא על הצלע $AC$. מש״ל

$f$ אי-זוגית: $\;f(-x)=-f(x)$, כלומר הגרף סימטרי ביחס לראשית הצירים.

נקודות על הציר:

$x=0$: $\;f(0)=-f(0)\;\Rightarrow\;f(0)=0$

$x=-1$: $\;f(-1)=-f(1)=-0=0$

לכן הגרף עובר ב-$(-1,\,0)$, $(0,\,0)$, $(1,\,0)$.

נקודות קיצון: תמונת המראה של המינימום ב-$x=-\dfrac12$ היא מקסימום ב-$x=\dfrac12$. הוא יחיד: מקסימום נוסף היה נותן, בסימטריה, מינימום נוסף.

מונוטוניות (אין קיצון נוסף, ו-$f$ רציפה):

יורדת: $\;x<-\dfrac12$ וגם $\;x>\dfrac12$

עולה: $\;-\dfrac12<x<\dfrac12$

בכל קטע מונוטוניות יש לכל היותר אפס אחד, ולכן האפסים הם בדיוק $-1$, $0$, $1$. טבלת הסימנים של $f$:

הסקיצה משמאל לימין: יורדת מלמעלה, חוצה את הציר ב-$-1$, יורדת למינימום ב-$x=-\dfrac12$, עולה דרך הראשית למקסימום ב-$x=\dfrac12$, ויורדת דרך $(1,\,0)$ אל מתחת לציר (ראו סקיצה).

$g'(x)=-f(x)$, ולכן בכל תחום הסימן של $g'$ הפוך לסימן של $f$ (מתת-סעיף 1).

טבלת הסימנים:

בנקודות $x=-1$ ו-$x=1$ הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס, ולכן שם מינימום. בנקודה $x=0$ מפלוס למינוס, ולכן שם מקסימום.

שיעורי ה-$y$: $\;g(1)=2\;$ (נתון)

$g$ זוגית, ולכן: $\;g(-1)=g(1)=2$

היגד I: המקסימום של $g$ נמצא ב-$x=0$ (תת-סעיף 2).

בתחום $0<x<1$ הנגזרת שלילית, כלומר $g$ יורדת, ולכן $\;g(0)>g(1)=2$.

שיעור ה-$y$ של המקסימום גדול מ-$2$, ולכן אינו בין $0$ ל-$2$. היגד I לא נכון.

היגד II: מתחומי העלייה והירידה:

יורדת עד $x=-1$, עולה עד $x=0$, יורדת עד $x=1$, ועולה מ-$x=1$ והלאה.

לכן הערך הקטן ביותר של $g$ מתקבל בנקודות המינימום, והוא $2$. כלומר $\;g(x)\ge2$ לכל $x$.

$2>0$, ולכן $g(x)>0$ לכל $x$. היגד II נכון.

מה רואים בגרף:

ארבע נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$: שתיים שליליות ושתיים חיוביות.

שני הקצוות עולים ל-$+\infty$.

הגרף חותך את ציר ה-$y$ מעל ציר ה-$x$, ולא בראשית.

I נפסל: מכפלה של שלושה גורמים ממעלה ראשונה היא פולינום ממעלה $3$. בפולינום כזה הקצוות הולכים לכיוונים מנוגדים, ויש לו לכל היותר שלושה אפסים.

II נפסל: יש בו גורם $x$, ולכן $f(0)=0$ והגרף עובר בראשית. בגרף אין זה כך.

IV נפסל: האפסים שלו הם $4$, $-1$, $-3$, $-6$: שלושה שליליים ואחד חיובי. בגרף יש שני אפסים חיוביים.

III מתאים: האפסים הם $-6$, $-3$, $1$, $4$: שניים שליליים ושניים חיוביים ✓

מעלה $4$ ומקדם מוביל $1>0$: שני הקצוות עולים ✓

$f(0)=(-4)(-1)(3)(6)=72>0$ ✓

השורש מוגדר רק כאשר $\;f(x)\ge0$.

אפסי $f$ (תת-סעיף 1): $\;x=-6,\;-3,\;1,\;4$. טבלת הסימנים של $f$ (נקראת מהגרף):

לוקחים את התחומים שבהם $f$ חיובית, כולל האפסים (שם $\sqrt0=0$ מוגדר).

תחום ההגדרה (תת-סעיף 2): $\;x\le-6$, $\;-3\le x\le1$, $\;x\ge4$. הגרף בנוי משלושה חלקים נפרדים.

סימן: $g$ היא שורש, ולכן $g(x)\ge0$. היא מתאפסת רק איפה ש-$f=0$: בנקודות $(-6,\,0)$, $(-3,\,0)$, $(1,\,0)$, $(4,\,0)$.

עלייה וירידה: השורש הוא פונקציה עולה, ולכן $g$ עולה כש-$f$ עולה ויורדת כש-$f$ יורדת. לכן לשתיהן נקודות קיצון באותם שיעורי $x$.

הקטע האמצעי $-3\le x\le1$: נסמן $u=x+1$.

$(x-4)(x+6)=(x+1)^2-25=u^2-25$

$(x-1)(x+3)=(x+1)^2-4=u^2-4$

ולכן: $\;f(x)=\left(u^2-25\right)\left(u^2-4\right)$

בקטע הזה $0\le u^2\le4$. שני הגורמים שליליים או אפס, ושניהם קטנים בערכם המוחלט ככל ש-$u^2$ גדל. לכן $f$ מקסימלית כש-$u=0$, כלומר ב-$x=-1$:

$f(-1)=(-25)(-4)=100$

$g(-1)=\sqrt{100}=10$

חיתוך עם ציר $y$: $\;g(0)=\sqrt{f(0)}=\sqrt{72}=6\sqrt2\approx8.49$

הקצוות: כאשר $x\to\pm\infty$, גם $f\to\infty$ ולכן $g\to\infty$.

הגרף: ענף שמאלי יורד אל $(-6,\,0)$; "קשת" בין $(-3,\,0)$ ל-$(1,\,0)$ עם מקסימום $(-1,\,10)$ ודרך $(0,\,6\sqrt2)$; וענף ימני שעולה מ-$(4,\,0)$ (ראו סקיצה).

מפצלים לפי כללי האינטגרל:

$\displaystyle\int_5^8\big[2g(x-1)+1\big]dx=2\int_5^8 g(x-1)\,dx+\int_5^8 1\,dx$

החלק השני: $\;\displaystyle\int_5^8 1\,dx=\big[x\big]_5^8=8-5=3$

החלק הראשון: הגרף של $g(x-1)$ הוא הגרף של $g(x)$ מוזז יחידה אחת ימינה. לכן השטח שלו בין $x=5$ ל-$x=8$ שווה לשטח של $g$ בין $x=4$ ל-$x=7$:

$\displaystyle\int_5^8 g(x-1)\,dx=\int_4^7 g(x)\,dx=k$

(הבדיקה: כש-$x$ עובר מ-$5$ עד $8$, הביטוי $x-1$ עובר מ-$4$ עד $7$ — בתוך תחום ההגדרה $x\ge4$ של $g$ ✓)

מחברים: $\;2\cdot k+3=2k+3$