קיץ 2024 · מועד ב

הסרטוט, עם המשולש $ODC$ מודגש:

משפט הסינוסים ב-$\triangle ABC$ (רדיוס המעגל החוסם $R$):

$BC=2R\sin\alpha$

סכום הזוויות במשולש: $\;\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}-\alpha=120^{\circ}-\alpha$

משפט הסינוסים: $\;AB=2R\sin\left(120^{\circ}-\alpha\right)$

שטח $\triangle ABC$ לפי הצלעות $AB$, $BC$ והזווית שביניהן:

$S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot BC\cdot\sin60^{\circ}}{2}=\dfrac{2R\sin\left(120^{\circ}-\alpha\right)\cdot2R\sin\alpha\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2}$

מכנסים: $\;S_{ABC}=\sqrt3R^2\sin\alpha\sin\left(120^{\circ}-\alpha\right)$

$\angle BOC=2\angle BAC=2\alpha$ (זווית מרכזית וזווית היקפית הנשענות על אותה קשת $BC$)

$D$ אמצע הקשת $BC$: הקשתות $BD$ ו-$DC$ שוות, ולכן גם הזוויות המרכזיות שעליהן שוות:

$\angle DOC=\dfrac{2\alpha}{2}=\alpha$

שטח $\triangle ODC$ ($OD=OC=R$ רדיוסים):

$S_{ODC}=\dfrac{R\cdot R\cdot\sin\alpha}{2}=\dfrac{R^2\sin\alpha}{2}$

היחס מסעיף א:

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{ODC}}=\dfrac{\sqrt3R^2\sin\alpha\sin\left(120^{\circ}-\alpha\right)}{\frac{R^2\sin\alpha}{2}}=2\sqrt3\sin\left(120^{\circ}-\alpha\right)$

משווים לנתון: $\;2\sqrt3\sin\left(120^{\circ}-\alpha\right)=2\sqrt3\sin80^{\circ}$

$\sin\left(120^{\circ}-\alpha\right)=\sin80^{\circ}$

$0^{\circ}<120^{\circ}-\alpha<120^{\circ}$, ולכן שתי אפשרויות:

$120^{\circ}-\alpha=80^{\circ}\;\Rightarrow\;\alpha=40^{\circ}$

$120^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}\;\Rightarrow\;\alpha=20^{\circ}$

בדיקת "חד-זוויות":

$\alpha=20^{\circ}$: $\;\angle ACB=120^{\circ}-20^{\circ}=100^{\circ}$ — זווית קהה, נפסל.

$\alpha=40^{\circ}$: הזוויות $40^{\circ}$, $60^{\circ}$, $80^{\circ}$ — כולן חדות ✓

מסעיף ב: $\;\alpha=40^{\circ}$, ולכן $\;\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}-40^{\circ}=80^{\circ}$.

$D$ אמצע הקשת $BC$, ולכן $AD$ חוצה את $\angle BAC$: $\;\angle BAD=20^{\circ}$.

$\angle BCD=\angle BAD=20^{\circ}$ (זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $BD$)

$D$ בצד השני של $BC$, ולכן: $\;\angle ACD=\angle ACB+\angle BCD=80^{\circ}+20^{\circ}=100^{\circ}$

$\angle ACE=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$ (זוויות צמודות — $D$, $C$, $E$ על ישר אחד)

סכום הזוויות במשולש $ACE$: $\;\angle AEC=180^{\circ}-50^{\circ}-80^{\circ}=50^{\circ}$

הסרטוט עם זוויות המשולש $ACE$:

$\angle CAE=\angle AEC=50^{\circ}$, ולכן המשולש שווה-שוקיים: $\;CE=CA$.

מסעיף א (משפט הסינוסים): $\;CA=2R\sin60^{\circ}=R\sqrt3$, ולכן גם $\;CE=R\sqrt3$.

משפט הסינוסים ב-$\triangle ACE$ לצלע $AE$ (מול הזווית $80^{\circ}$):

$\dfrac{AE}{\sin80^{\circ}}=\dfrac{CA}{\sin50^{\circ}}\;\Rightarrow\;AE=\dfrac{R\sqrt3\sin80^{\circ}}{\sin50^{\circ}}\approx2.2267R$

שטח המשולש: $\;S=\dfrac{CA\cdot CE\cdot\sin80^{\circ}}{2}=\dfrac{3R^2\sin80^{\circ}}{2}\approx1.4772R^2$

חצי ההיקף: $\;p=\dfrac{R\sqrt3+R\sqrt3+2.2267R}{2}\approx2.8454R$

רדיוס המעגל החסום: $\;S=r\cdot p\;\Rightarrow\;r=\dfrac{S}{p}\approx\dfrac{1.4772R^2}{2.8454R}\approx0.519R$