קיץ 2024 · מועד ב

חמש בחירות עם החזרה הן חמישה ניסויים בלתי תלויים. בכל בחירה:

מתנדב: $\;0.8$

לא מתנדב: $\;0.2$

המשלים: המאורע "לפחות אחד מכל סוג" לא קורה רק אם כל החמישה מאותו סוג: כולם מתנדבים, או אף אחד מהם אינו מתנדב.

כולם מתנדבים: $\;0.8^5=0.32768$

אף אחד אינו מתנדב: $\;0.2^5=0.00032$

נסמן: $x$ — ההסתברות שתלמיד חבר בתנועת נוער. אז $1-x$ — ההסתברות שאינו חבר.

מבין הלא-חברים $\dfrac{1}{12}$ מתנדבים, ולכן $\dfrac{11}{12}$ מהם אינם מתנדבים:

$P(\text{not member}\cap\text{not volunteer})=\dfrac{11}{12}(1-x)$

הנתון: $\;\dfrac{11}{12}(1-x)=0.55$

$1-x=0.55\cdot\dfrac{12}{11}=0.6\;\Rightarrow\;x=0.4$

הטבלה הדו-ממדית המלאה, המשבצת המבוקשת מודגשת ($0.4\cdot0.8=0.32$, $\;0.6\cdot\dfrac{1}{12}=0.05$):

חברים בתנועת נוער: $\;0.4\cdot100=40$ תלמידים.

מבין החברים $80\%$ מתנדבים, ולכן $20\%$ אינם מתנדבים:

$0.2\cdot40=8$

בטבלה של סעיף ב זו המשבצת $0.08$, כלומר $0.08\cdot100=8$ ✓. הטבלה במספרי תלמידים:

מהטבלה בסעיף ג, התלמידים שאינם מתנדבים:

חברים בתנועה: $\;8$

אינם חברים: $\;55$

סה״כ: $\;63$

העץ של שלוש הבחירות (ללא החזרה), המסלול המבוקש מסומן:

בחירה ראשונה — חבר: $\;\dfrac{8}{63}$

שנייה — לא חבר (נשארו $62$, מהם $55$ לא חברים): $\;\dfrac{55}{62}$

שלישית — לא חבר (נשארו $61$, מהם $54$): $\;\dfrac{54}{61}$

$P=\dfrac{8}{63}\cdot\dfrac{55}{62}\cdot\dfrac{54}{61}=\dfrac{23760}{238266}$

מצמצמים: $\;\dfrac{1320}{13237}\approx0.0997$

ידוע שהראשון אינו חבר. אחריו נשארו $62$ תלמידים: $\;8$ חברים ו-$54$ שאינם חברים.

הראשון אינו חבר, ולכן "אחד חבר והשניים האחרים לא" פירושו: בדיוק אחד מהשני והשלישי חבר. העץ מהבחירה השנייה, שני המסלולים המבוקשים מסומנים:

חבר ואחריו לא חבר: $\;\dfrac{8}{62}\cdot\dfrac{54}{61}=\dfrac{432}{3782}$

לא חבר ואחריו חבר: $\;\dfrac{54}{62}\cdot\dfrac{8}{61}=\dfrac{432}{3782}$

בדיקה בנוסחה של הסתברות מותנית: $\;P(\text{first not member})=\dfrac{55}{63}$, ולכן:

$P=\dfrac{\frac{55}{63}\cdot\frac{864}{3782}}{\frac{55}{63}}=\dfrac{864}{3782}$ ✓