קיץ 2023 · מועד ב

במשולש $AFB$: $\;\angle AFB=90^{\circ}$, ולכן כל אחת משתי הזוויות האחרות קטנה מ-$90^{\circ}$.

במשולש $EBC$ ($\angle B=90^{\circ}$) כל זווית חדה אפשרית, כך שאין הגבלה נוספת.

במשולש $EBC$ (ישר-זווית ב-$B$): $\;\sin x=\dfrac{EB}{CE}=\dfrac{h/2}{CE}\;\Rightarrow\;CE=\dfrac{h}{2\sin x}$

במשולש $AFB$ (ישר-זווית ב-$F$): $\;\cos2x=\dfrac{AF}{AB}\;\Rightarrow\;AF=h\cos2x$

בתחום $\cos x>0$, ולכן $D'=0$ כש-$\;8\sin^3x=1\;\Rightarrow\;\sin x=\dfrac12\;\Rightarrow\;x=\dfrac{\pi}{6}$ ($30^{\circ}$).

הסימן נקבע לפי $8\sin^3x-1$ ($\sin x$ עולה בתחום):

מינימום ב-$\;x=\dfrac{\pi}{6}=30^{\circ}$.

עם $x=30^{\circ}$: $\;BC=\dfrac{EB}{\tan30^{\circ}}=\dfrac{h}{2}\cdot\sqrt3=\dfrac{\sqrt3}{2}h$

שטח המלבן: $\;AB\cdot BC=h\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}h=\dfrac{\sqrt3}{2}h^2$

במשולש $AFB$, $\;\angle FAB=60^{\circ}$: $\;AF=\dfrac h2$, $\;BF=\dfrac{\sqrt3}{2}h$

$S_{AFB}=\dfrac12\cdot\dfrac h2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}h=\dfrac{\sqrt3}{8}h^2$

היחס: $\;\dfrac{\sqrt3h^2/2}{\sqrt3h^2/8}=4$