קיץ 2023 · מועד ב

האיברים האמצעיים: $a_{n+1},a_{n+2},\ldots,a_{2n}$ — סדרה חשבונית של $n$ איברים:

$S_n^*=\dfrac{n}{2}\left(a_{n+1}+a_{2n}\right)$

הסכום של כל הסדרה: $\;S_{3n}=\dfrac{3n}{2}\left(a_1+a_{3n}\right)=\dfrac{3n}{2}\big(2a_1+(3n-1)d\big)$

אותו ביטוי בסוגריים, ולכן: $\;S_n^*=\dfrac{n}{2}\big(2a_1+(3n-1)d\big)=\dfrac13\cdot S_{3n}$ מש״ל

לפי סעיף א: $\;S_{3n}=3S_n^*=0$

האיבר האחרון קטן מהראשון ($a_{3n}<0<a_1$) — הסדרה יורדת, ולכן $d<0$.

$d<0$, ולכן $|d|=-d$ ו-$\;a_1=-19d$.

מסעיף ב: $\;a_1+a_{3n}=0$, כלומר $\;2a_1+(3n-1)d=0$

$-38d+(3n-1)d=0\;\Rightarrow\;3n-1=38$ (מחלקים ב-$d\ne0$)

$3n=39$ — בסדרה $39$ איברים ($n=13$).

עם $n=13$: $\;a_{3n-4}=a_{35}$. האינדקסים $2,5,8,\ldots,35$ — מספר האיברים: $\;\dfrac{35-2}{3}+1=12$

הסכום: $\;\dfrac{12}{2}\left(a_2+a_{35}\right)=6\left(2a_1+35d\right)$

מציבים $a_1=-19d$: $\;6\left(-38d+35d\right)=-18d$

בדיקה: $a_1=38$, $\;a_2=36$, $\;a_{35}=38-68=-30$, והסכום $6\cdot(36-30)=36$ ✓