קיץ 2023 · מועד ב

בסיס ($n=1$): אגף שמאל $\dfrac{A}{2}$; אגף ימין $A\left(1-\dfrac12\right)=\dfrac{A}{2}$ ✓

הנחה ($n=k$): $\;\dfrac{A}{2}+\ldots+\dfrac{A}{2^k}=A\left(1-\dfrac{1}{2^k}\right)$

צעד ($n=k+1$): מוסיפים את $\dfrac{A}{2^{k+1}}$:

$A\left(1-\dfrac{1}{2^k}\right)+\dfrac{A}{2^{k+1}}=A\left(1-\dfrac{2}{2^{k+1}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\right)$

$=A\left(1-\dfrac{1}{2^{k+1}}\right)$ — זה בדיוק אגף ימין בעבור $n=k+1$ ✓

הבסיס נכון ומ-$k$ נובע $k+1$, ולכן הטענה נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

הסרטוט:

$OA$ רדיוס ו-$EA$ משיק בנקודה $A$, ולכן $\;\angle OAE=90^{\circ}$.

$OD$ רדיוס ו-$CE$ משיק בנקודה $D$, ולכן $\;\angle ODE=90^{\circ}$.

אלה זוויות נגדיות במרובע $AODE$, וסכומן $90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$ — לכן המרובע בר חסימה במעגל. מש״ל

במעגל החוסם את $AODE$ הזווית ההיקפית $\angle OAE$ ישרה, ולכן $OE$ קוטר שלו. צריך את $OE$.

$AB=2R$ ו-$B$ אמצע $AC$, ולכן $BC=2R$ ו-$\;OC=R+2R=3R$, $\;AC=4R$.

במשולש $ODC$ (ישר-זווית ב-$D$): $\;CD=\sqrt{(3R)^2-R^2}=\sqrt8\,R=2\sqrt2\,R$

במשולש $CAE$ (ישר-זווית ב-$A$): $\;AE=AC\cdot\tan\angle C=4R\cdot\dfrac{1}{2\sqrt2}=\sqrt2\,R$

פיתגורס במשולש $OAE$: $\;OE=\sqrt{R^2+2R^2}=\sqrt3\,R$

הרדיוס הוא חצי הקוטר: $\;\dfrac{OE}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}R$

$h(x)=\sqrt{x(x+2)}$: מוגדרת כש-$x(x+2)\ge0$, כלומר $x\le-2$ או $x\ge0$ — יש פער בתחום. רק בגרף ג הגרף "נקטע" בין $-2$ ל-$0$ ✓

$f(x)=\sqrt{x^2(x+2)}=|x|\sqrt{x+2}$: מוגדרת בעבור $x\ge-2$, ותמיד $f\ge0$ (שורש). אפסים ב-$x=-2$ וב-$x=0$ — "גבעה" מעל הציר ואז עלייה. זה גרף ד ✓

$k(x)=x\sqrt{x+2}$: מוגדרת בעבור $x\ge-2$. בתחום $-2<x<0$: $\;x<0$ והשורש חיובי, ולכן $k<0$ — "גומה" מתחת לציר.

שני גרפים (א ו-ב) יורדים מתחת לציר. מבדילים בשיפוע בראשית: $\;k'(x)=\sqrt{x+2}+\dfrac{x}{2\sqrt{x+2}}$, ולכן $k'(0)=\sqrt2\ne0$ — הגרף חוצה את הראשית באלכסון, לא בשיפוע אופקי.

בגרף א הגרף חוצה את הראשית בשיפוע, ובגרף ב הוא משיק לציר בראשית. לכן $k$ — גרף א ✓

הגרף הנותר הוא ב: מתחיל ב-$(-2,0)$, יורד מתחת לציר, חוזר לראשית בשיפוע אופקי ועולה.

בתחום $-2<x<0$ השורש חיובי, ולכן הסימן של $g$ הוא הסימן של $x^n$.

$n$ זוגי: $\;x^n>0$, ולכן $g\ge0$ — הגרף לא יורד מתחת לציר ✗

$n$ אי-זוגי: $\;x^n<0$ בעבור $x<0$, ולכן $g<0$ בין $-2$ ל-$0$ ✓. בנוסף $n\ge3$, ולכן $g'(0)=0$ — הגרף משיק לציר בראשית, כמו בגרף ב ✓

סימן $f'$: בעבור $x<0$ הגרף של $f$ עולה (מ-$y=2$ אל $+\infty$), ולכן $f'>0$. בעבור $x>0$ הוא יורד, ולכן $f'<0$.

מגמת $f'$: $f$ קעורה כלפי מעלה, כלומר $f''>0$ — ולכן $f'$ עולה בכל אחד משני התחומים.

קצוות: כש-$x\to\pm\infty$ הגרף של $f$ משתטח אל $y=2$, ולכן $f'\to0$. ליד $x=0$ הגרף של $f$ תלול מאוד: $f'\to+\infty$ משמאל ו-$f'\to-\infty$ מימין.

בסקיצה: בעבור $x<0$ — ענף מעל הציר שעולה מ-$0$ אל $+\infty$; בעבור $x>0$ — ענף מתחת לציר שעולה מ-$-\infty$ אל $0$.

$f$ קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה, ולכן $f''(x)>0$ לכל $x\neq0$.

$f''>0$ פירושו ש-$f'$ עולה.

עלייה: $\;x<0$ ו-$\;x>0$. ירידה: אין.

(3): $\;\displaystyle\int_a^{a+1}f'(x)\,dx=f(a+1)-f(a)$. בעבור $x>0$ $f$ יורדת, ולכן $f(a+1)<f(a)$ — הביטוי שלילי.

(2) מול (4): בעבור $x>0$ מתקיים $f(x)>2$, ולכן על קטע באורך $1$: $\;\displaystyle\int_{a+1}^{a+2}f(x)\,dx>2\cdot1=2$

(1) מול (2): $f$ יורדת, ולכן כל ערך של $f$ בקטע $[a,a+1]$ גדול מכל ערך בקטע $[a+1,a+2]$ — השטח הראשון גדול יותר.

הסדר מהקטן לגדול: $\;(3)<(4)<(2)<(1)$