קיץ 2023 · מועד ב

נסמן: $H$ — גר בחיפה, $V$ — גר בתל אביב, $T$ — קיבל בזמן. נתון $P(H)=p$ ו-$P(T\mid H)=\frac34$:

$P(H\cap T)=\frac34p$

נתון $P(H\mid T)=\frac59$: $\;\dfrac{P(H\cap T)}{P(T)}=\dfrac59\;\Rightarrow\;P(T)=\dfrac{3p/4}{5/9}=\dfrac{27}{20}p$

גר בתל אביב וקיבל בזמן:

$P(V\cap T)=P(T)-P(H\cap T)=\dfrac{27}{20}p-\dfrac{15}{20}p=\dfrac{12}{20}p=\dfrac35p$

תל אביב ולא בזמן: $\;1.5\cdot\dfrac35p=\dfrac{9}{10}p$

כל מנויי תל אביב: $\;\dfrac35p+\dfrac{9}{10}p=\dfrac32p=1-p$

$P(T)=\dfrac{27}{20}\cdot0.4=0.54$ — $54\%$ קיבלו בזמן.

בדיקה: $P(H\mid T)=\dfrac{0.3}{0.54}=\dfrac59$ ✓ ו-$\;0.36=1.5\cdot0.24$ ✓

לא קיבלו בזמן: $\;P(\overline T)=0.1+0.36=0.46$

נסמן $V$ — גר בתל אביב. מביניהם: $\;P(H\mid\overline T)=\dfrac{0.1}{0.46}=\dfrac{5}{23}$, $\;P(V\mid\overline T)=\dfrac{0.36}{0.46}=\dfrac{18}{23}$

המנויים רבים, ולכן הבחירות בלתי תלויות:

$\dfrac{18}{23}\cdot\dfrac{5}{23}=\dfrac{90}{529}\approx0.170$

מספר תושבי חיפה בין השישה מתפלג בינומית: $\;n=6$, והסתברות ההצלחה (גר בחיפה) היא $\dfrac{5}{23}$.

המשלים של "לכל היותר $4$" הוא $5$ או $6$:

$P(5)=\binom65\left(\dfrac{5}{23}\right)^5\cdot\dfrac{18}{23}\approx0.00228$