קיץ 2023 · מועד ב

$\angle ACE=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$ (זוויות צמודות, $E$ על המשך $BC$).

$ABCD$ חסום, ולכן הזווית החיצונית $\angle CDE$ שווה לזווית הפנימית שמולה: $\;\angle ABC=\alpha$. טרפז חסום הוא שווה-שוקיים, ולכן גם $\angle BAE=\alpha$.

במשולש $ABE$: $\;\angle AEC=180^{\circ}-2\alpha$

במשולש $ACE$: $\;\angle CAE=180^{\circ}-120^{\circ}-\left(180^{\circ}-2\alpha\right)=2\alpha-120^{\circ}$

משפט הסינוסים במשולש $ABC$: $\;\dfrac{AB}{\sin60^{\circ}}=\dfrac{AC}{\sin\alpha}$

במשולש $ADC$: $\;\angle ADC=180^{\circ}-\alpha$ (צמודה ל-$\alpha$), $\;\angle DAC=\angle CAE=2\alpha-120^{\circ}$.

משפט הסינוסים: $\;\dfrac{DC}{\sin\left(2\alpha-120^{\circ}\right)}=\dfrac{k}{\sin\left(180^{\circ}-\alpha\right)}=\dfrac{k}{\sin\alpha}$

$DC\parallel AB$, ולכן $\triangle DCE\sim\triangle ABE$, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

$\left(\dfrac{AB}{DC}\right)^2=3\;\Rightarrow\;\dfrac{AB}{DC}=\sqrt3$

מסעיף א(2): $\;\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{\sin60^{\circ}}{\sin\left(2\alpha-120^{\circ}\right)}=\sqrt3$

זוויות המשולש $ACE$ חיוביות: $\;60^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$, ולכן $0^{\circ}<2\alpha-120^{\circ}<60^{\circ}$.

עם $\alpha=75^{\circ}$: $\;\angle ACE=120^{\circ}$, $\;\angle AEC=30^{\circ}$, $\;\angle CAE=30^{\circ}$ — המשולש שווה-שוקיים: $\;CE=CA=k$.

$M$ אמצע $EC$, ולכן $CM=\dfrac{k}{2}$ ו-$\angle ACM=120^{\circ}$.

משפט הקוסינוסים במשולש $ACM$:

$AM^2=k^2+\dfrac{k^2}{4}-2\cdot k\cdot\dfrac{k}{2}\cos120^{\circ}$