קיץ 2023 · מועד ב

המכנה $(x-4)^2$ מתאפס רק ב-$x=4$.

אין שורש ואין לוגריתם — שאר ה-$x$ מותרים.

תחום ההגדרה: $\;x\neq4$

אנכית: ב-$x=4$ המכנה מתאפס והמונה $16-a^2>0$ (כי $0<a<4$) — ולכן $x=4$ אסימפטוטה אנכית.

אופקית: מונה ומכנה ממעלה $2$, ומקדמי $x^2$ שניהם $1$: $\;\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1$

האסימפטוטות: $\;x=4$, $\;y=1$

ציר $x$: $\;x^2-a^2=0\;\Rightarrow\;x=\pm a$ (שניהם שונים מ-$4$). הנקודות $(a,0)$, $(-a,0)$.

ציר $y$: $\;f(0)=\dfrac{-a^2}{16}$. הנקודה $\left(0,-\dfrac{a^2}{16}\right)$.

סה״כ שלוש נקודות חיתוך.

מצמצמים ב-$(x-4)$: $\;f'(x)=\dfrac{2\big[x(x-4)-\left(x^2-a^2\right)\big]}{(x-4)^3}=\dfrac{2\left(a^2-4x\right)}{(x-4)^3}$

$f'(x)=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{a^2}{4}$ (ו-$\dfrac{a^2}{4}<4$ כי $a<4$).

טבלת סימנים — המונה חיובי משמאל ל-$\frac{a^2}{4}$ ושלילי מימין, המכנה שלילי משמאל ל-$4$ וחיובי מימין:

נקודת מינימום ב-$\;x=\dfrac{a^2}{4}$.

משמאל: הגרף מתקרב ל-$y=1$ מלמטה ($f-1=\dfrac{8x-a^2-16}{(x-4)^2}<0$ כש-$x\to-\infty$), יורד, חותך את ציר $x$ ב-$(-a,0)$ ואת ציר $y$ ב-$\left(0,-\frac{a^2}{16}\right)$.

מגיע למינימום ב-$x=\frac{a^2}{4}$, עולה דרך $(a,0)$ ושואף ל-$+\infty$ כש-$x\to4^-$.

מימין ל-$x=4$: יורד מ-$+\infty$ ומתקרב ל-$y=1$ מלמעלה.

$a^2>0$ (כי $a>0$) ו-$(x-4)^2>0$ לכל $x\neq4$.

לכן $g(x)-f(x)>0$ לכל $x$ בתחום — הגרף של $g$ כולו מעל הגרף של $f$. מש״ל

לפי ב(1), $g$ מעל $f$, ולכן:

$S=\displaystyle\int_0^1\big(g(x)-f(x)\big)dx=\int_0^1\dfrac{a^2}{(x-4)^2}\,dx$

פונקציה קדומה: $\;\displaystyle\int\dfrac{a^2}{(x-4)^2}\,dx=-\dfrac{a^2}{x-4}$