קיץ 2023 · מועד ב

$\angle BCE=\angle CDE$ — זווית בין המשיק $BC$ למיתר $CE$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $CE$.

$\angle CEB=\angle DCE$ — זוויות מתחלפות בין המקבילים $CD\parallel BA$ והחותך $CE$.

שתי זוויות שוות, ולכן $\;\triangle CEB\sim\triangle DCE$ (ז.ז) בהתאמה $C\leftrightarrow D$, $\;E\leftrightarrow C$, $\;B\leftrightarrow E$. מש״ל

$CD\parallel EA$, ולכן $CDAE$ טרפז. טרפז חסום במעגל הוא שווה-שוקיים, והאלכסונים שלו שווים: $\;CA=ED=7$

המשולשים $CKD$ ו-$AKE$ דומים ($CD\parallel EA$), ובטרפז שווה-שוקיים $KE=KA=3$, $\;KD=KC=4$ (בדיקה: $KD+KE=7=ED$ ✓).

ל-$CEK$ ול-$CKD$ גובה משותף מ-$C$ לישר $ED$, ולכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים:

$\dfrac{S_{CKD}}{S_{CEK}}=\dfrac{KD}{KE}=\dfrac43$

בדמיון $\triangle CEB\sim\triangle DCE$ הצלע $CB$ מתאימה ל-$DE$:

$\dfrac{CB}{DE}=\dfrac{35/\sqrt{32}}{7}=\dfrac{5}{\sqrt{32}}$

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $\;\dfrac{S_{CEB}}{S_{DCE}}=\dfrac{25}{32}$

$\angle COE$ זווית מרכזית ו-$\angle CAE$ זווית היקפית, שתיהן נשענות על הקשת $CE$:

$\angle COE=2\angle CAE$

$\angle CKE$ זווית חיצונית למשולש $AKE$:

$\angle CKE=\angle KAE+\angle KEA$

בטרפז שווה-שוקיים $KA=KE$ (סעיף ב), ולכן $\angle KEA=\angle KAE=\angle CAE$.

$\angle CKE=2\angle CAE=\angle COE$ מש״ל

לפי סעיף ד: $\;\angle COE=\angle CKE=2\cdot45^{\circ}=90^{\circ}$

מהנקודות $O$ ו-$K$ רואים את הקטע $CE$ בזווית ישרה. זווית היקפית של $90^{\circ}$ נשענת על קוטר, ולכן $O$ ו-$K$ נמצאות על המעגל שהקוטר שלו $CE$.

לכן $O$, $C$, $E$, $K$ על מעגל אחד.