קיץ 2023 · מועד ב

השורש במכנה, ולכן צריך $\;x^2+x>0$, כלומר $x(x+1)>0$.

פרבולה "מחייכת" עם שורשים $-1$ ו-$0$ — חיובית מחוץ לשורשים.

תחום ההגדרה: $\;x<-1$ או $x>0$.

ציר $y$: צריך $x=0$, אבל $x=0$ לא בתחום ההגדרה — אין חיתוך.

ציר $x$: $\;f(x)=0\;\Rightarrow\;2x=0\;\Rightarrow\;x=0$ — שוב מחוץ לתחום, אין חיתוך.

הגרף לא חותך את הצירים.

$x\to-1^-$: המכנה $\to0^+$ והמונה $\to-2$, ולכן $f\to-\infty$ — $x=-1$ אסימפטוטה אנכית.

$x\to0^+$: $\;f(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=\dfrac{2\sqrt x}{\sqrt{x+1}}\to0$ — ערך סופי, אין אסימפטוטה.

אופקיות: $\;f(x)=\dfrac{2x}{|x|\sqrt{1+\frac1x}}$

כש-$x\to+\infty$: $\;f\to2$; כש-$x\to-\infty$: $\;f\to-2$

האסימפטוטות: $\;x=-1$, $\;y=2$, $\;y=-2$

מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{x^2+x}$:

$f'(x)=\dfrac{2\left(x^2+x\right)-x(2x+1)}{\left(x^2+x\right)^{3/2}}=\dfrac{x}{\left(x^2+x\right)^{3/2}}$

המכנה חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x$:

ירידה: $\;x<-1$. עלייה: $\;x>0$.

ענף שמאלי ($x<-1$): מתחיל ליד $y=-2$ (כש-$x\to-\infty$), יורד, ושואף ל-$-\infty$ כש-$x\to-1^-$.

ענף ימני ($x>0$): מתחיל ליד הראשית (הנקודה $(0,0)$ לא כלולה), עולה, ומתקרב ל-$y=2$ מלמטה.

אין נקודות פיתול — כל ענף שומר על קעירות אחת. הגרף הכחול בסקיצה.

ענף ימני: עולה ומשתטח לכיוון $y=2$ — השיפוע קטן, כלומר $f'$ יורדת. לכן $f''<0$.

ענף שמאלי: יורד ונעשה תלול יותר לכיוון $-\infty$ — השיפוע (שלילי) קטן עוד, כלומר $f'$ יורדת. לכן $f''<0$.

$f''$ שלילית בשני התחומים — שני הענפים מתחת לציר $x$. זה גרף I ✓

$f''<0$ בתחום (סעיף ג), ולכן השטח: $\;S=-\displaystyle\int_1^2f''(x)\,dx=-\big(f'(2)-f'(1)\big)=f'(1)-f'(2)$

מסעיף א(4), $f'(x)=\dfrac{x}{\left(x^2+x\right)^{3/2}}$:

$f'(1)=\dfrac{1}{2^{3/2}}=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}$