קיץ 2023 · מועד א

נסמן את צלע המעוין ב-$m$. אז $\;CD=m$, ו-$\;CE=\dfrac m2$ ($E$ אמצע $BC$).

שטח המשולש $ECD$:

$S=\dfrac{CE\cdot CD\cdot\sin x}{2}=\dfrac{\frac m2\cdot m\cdot\sin x}{2}=\dfrac{m^2\sin x}{4}$

$m=\sqrt{\dfrac{72}{\sin x}}=\dfrac{6\sqrt2}{\sqrt{\sin x}}$ (כאשר $0<x<\pi$)

משפט הקוסינוסים ב-$\triangle ECD$:

$DE^2=CE^2+CD^2-2\cdot CE\cdot CD\cos x=\dfrac{m^2}{4}+m^2-m^2\cos x$

$DE^2=m^2\left(\dfrac54-\cos x\right)$

מציבים $m^2=\dfrac{72}{\sin x}$:

$DE^2=\dfrac{72}{\sin x}\cdot\dfrac{5-4\cos x}{4}=18\cdot\dfrac{5-4\cos x}{\sin x}$

$DE>0$, ולכן $DE$ מינימלי כש-$DE^2$ מינימלי. נגזור את $\;h(x)=\dfrac{5-4\cos x}{\sin x}$, $\;0<x<\pi$:

$h'(x)=\dfrac{4\sin x\cdot\sin x-(5-4\cos x)\cos x}{\sin^2x}$

מונה: $\;4\sin^2x-5\cos x+4\cos^2x=4\left(\sin^2x+\cos^2x\right)-5\cos x=4-5\cos x$

$h'(x)=0\;\Rightarrow\;\cos x=\dfrac45\;\Rightarrow\;x\approx0.644$ (כ-$36.87^{\circ}$)

טבלת הסימנים (המכנה חיובי; $\cos x$ יורד בתחום):

בנקודה: $\;\cos x=\dfrac45$, $\;\sin x=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac35$

$h=\dfrac{5-4\cdot\frac45}{\frac35}=\dfrac{\frac95}{\frac35}=3$