קיץ 2023 · מועד א

מהנתונים:

$P(\text{year 1}\cap\text{for})=0.8p$

$P(\text{year 2}\cap\text{for})=0.2p$

$P(\text{year 2}\cap\text{against})=P(\text{year 1}\cap\text{for})=0.8p$

הטבלה הדו-ממדית (אין נמנעים, ולכן "נגד" $=1-p$):

סה״כ תלמידי שנה ב': $\;0.2p+0.8p=p$

הסתברות מותנית: $\;P(\text{against}\mid\text{year 2})=\dfrac{0.8p}{p}=0.8$

מתוך שנה ב': $\;P(\text{for}\mid\text{year 2})=\dfrac{0.2p}{p}=0.2$

מתוך שנה א': $\;P(\text{for}\mid\text{year 1})=\dfrac{0.8p}{1-p}$

הנתון: $\;\dfrac{0.8p}{1-p}=0.2+\dfrac{13}{35}=\dfrac{7}{35}+\dfrac{13}{35}=\dfrac{20}{35}=\dfrac47$

כפל בהצלבה: $\;7\cdot0.8p=4(1-p)\;\Rightarrow\;5.6p=4-4p\;\Rightarrow\;9.6p=4$

$p=\dfrac{4}{9.6}=\dfrac{5}{12}$

הטבלה המלאה ($p=\frac{5}{12}$):

בדיקה: $\;\dfrac{1/3}{7/12}=\dfrac47$ ✓

המאורע "לפחות אחד מהתנאים" הוא האיחוד: שנה ב' או בעד.

המשלים שלו: לא שנה ב' וגם לא בעד, כלומר שנה א' וגם נגד. מהטבלה: $\;\dfrac14$

בדיקה בנוסחת האיחוד: $\;\dfrac{5}{12}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac34$ ✓

כל החמישה משנה ב', ולכן לכל אחד: בעד — $0.2$, נגד — $0.8$. המכללה גדולה, ולכן הבחירות בלתי תלויות.

נסמן ב-$X$ את מספר התומכים מבין החמישה. "לפחות $2$ בעד וגם לפחות $2$ נגד" פירושו $X=2$ או $X=3$.