קיץ 2023 · מועד א

הסרטוט, עם שני המשולשים הדומים:

$E$ אמצע הקשת $BC$, ולכן הקשתות $BE$ ו-$EC$ שוות, וגם הזוויות ההיקפיות הנשענות עליהן:

$\angle GAE=\angle BAE=\angle EAC$

$\angle AEG=\angle ACE$ (הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר $AE$ מהצד השני)

לפי משפט הדמיון ז.ז: $\;\triangle ACE\sim\triangle AEG$, בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow E$, $E\leftrightarrow G$. מש״ל

מהדמיון $\triangle ACE\sim\triangle AEG$ (סעיף א): $\;\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AE}{AG}$

כפל בהצלבה: $\;AC\cdot AG=AE^2$

מציבים: $\;AC\cdot6=\left(3\sqrt6\right)^2=9\cdot6=54$

$\angle GEB=\angle BAE$ (זווית בין המשיק $EG$ למיתר $EB$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $BE$)

$\angle EBC=\angle EAC$ (זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $EC$)

$\angle BAE=\angle EAC$ (הקשתות $BE$ ו-$EC$ שוות, סעיף א)

לכן $\;\angle GEB=\angle EBC$. אלה זוויות מתחלפות בין הישרים $GE$ ו-$BC$ עם החותך $BE$, ולכן $\;BC\parallel GE$. מש״ל

למשולשים $ABF$ ו-$BFE$ גובה משותף מ-$B$ לישר $AE$, ולכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים:

$\dfrac{AF}{FE}=\dfrac{S_{ABF}}{S_{BFE}}=2$

$AE=3\sqrt6$ ומתחלק ביחס $2:1$:

$AF=2\sqrt6$, $\;\;FE=\sqrt6$

מסעיף ג: $\;BF\parallel GE$ ($F$ על $BC$). במשולש $AGE$, לפי משפט תאלס:

$\dfrac{AB}{AG}=\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{2\sqrt6}{3\sqrt6}=\dfrac23$

למשולשים $ABF$ ו-$AFC$ גובה משותף מ-$A$ אל הישר $BC$, ולכן:

$\dfrac{S_{ABF}}{S_{AFC}}=\dfrac{BF}{FC}$

$AE$ חוצה את $\angle BAC$ (הזוויות $\angle BAE=\angle EAC$, סעיף א), ו-$F$ על $BC$. לפי משפט חוצה הזווית במשולש $ABC$:

$\dfrac{BF}{FC}=\dfrac{AB}{AC}$

מסעיפים ב, ד: $\;\dfrac{AB}{AC}=\dfrac49$