קיץ 2023 · מועד א

בדלתון $\;\angle ABC=\angle ADC$ (סימטריה ביחס לאלכסון הראשי $AC$).

המרובע חסום במעגל, ולכן: $\;\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$

מכאן: $\;\angle ABC=90^{\circ}$ (ולכן $AC$ הוא קוטר).

במשולש $ABC$: $\;\angle BCA=180^{\circ}-90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-\alpha$

$O$ מרכז המעגל החסום, ולכן $AO$ ו-$CO$ חוצי זוויות:

$\angle OAC=\dfrac{\alpha}{2}$

$\angle OCA=\dfrac{90^{\circ}-\alpha}{2}=45^{\circ}-\dfrac{\alpha}{2}$

הסרטוט:

$AC$ קוטר (תת-סעיף 1), ולכן $\;AC=2R$.

משפט הסינוסים ב-$\triangle AOC$:

$\dfrac{AO}{\sin\angle OCA}=\dfrac{AC}{\sin\angle AOC}$

$\dfrac{AO}{\sin\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}=\dfrac{2R}{\sin135^{\circ}}$

$\sin135^{\circ}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, ולכן:

$AO=\dfrac{2R\sin\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}{\frac{\sqrt2}{2}}=2\sqrt2R\sin\left(45^{\circ}-\dfrac{\alpha}{2}\right)$

$0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$, ולכן $\;0^{\circ}<45^{\circ}-\dfrac{\alpha}{2}<45^{\circ}$. הפתרון היחיד בתחום:

$45^{\circ}-\dfrac{\alpha}{2}=30^{\circ}$

הדלתון סימטרי ביחס ל-$AC$, ולכן $\;S_{ABCD}=2S_{ABC}$.

במשולש ישר-הזווית $ABC$ (היתר $AC=2R$, $\;\alpha=30^{\circ}$):

$AB=2R\cos30^{\circ}=R\sqrt3$

$BC=2R\sin30^{\circ}=R$

$S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot BC}{2}=\dfrac{\sqrt3R^2}{2}$, ולכן $\;S_{ABCD}=\sqrt3R^2$

$AC$ קוטר, ולכן מרכז המעגל החוסם $M$ הוא אמצע $AC$: $\;AM=R=5$.

מסעיף ב: $\;AO=R\sqrt2=5\sqrt2$. $M$ על $AC$, ולכן $\;\angle OAM=\angle OAC=\dfrac{\alpha}{2}=15^{\circ}$.

הסרטוט עם המשולש $AMO$:

משפט הקוסינוסים ב-$\triangle AMO$:

$MO^2=AO^2+AM^2-2\cdot AO\cdot AM\cos15^{\circ}$

$MO^2=50+25-2\cdot5\sqrt2\cdot5\cos15^{\circ}=75-50\sqrt2\cos15^{\circ}$