קיץ 2023 · מועד א

זה בדיוק "צעד האינדוקציה": מניחים את הטענה בעבור $k$ ומוכיחים אותה בעבור $k+1$.

האיבר הנוסף: $\;a_{k+1}=2(k+1)-1=2k+1$, $\;\;b_{k+1}=2^{k+1}$

מציבים את ההנחה:

$T_{k+1}=(2k-3)\cdot2^{k+1}+(2k+1)\cdot2^{k+1}$

גורם משותף: $\;T_{k+1}=2^{k+1}\big[(2k-3)+(2k+1)\big]=2^{k+1}(4k-2)$

$4k-2=2(2k-1)$, ולכן:

$T_{k+1}=2^{k+1}\cdot2(2k-1)=(2k-1)\cdot2^{k+2}$ מש״ל

באינדוקציה צריך שני חלקים: בסיס (הטענה נכונה בעבור $n=1$) וצעד (אם נכונה בעבור $k$ אז גם בעבור $k+1$). הצעד הוכח בתת-סעיף (1), ולכן בודקים את הבסיס.

ישירות: $\;T_1=a_1b_1=(2\cdot1-1)\cdot2^1=1\cdot2=2$

בנוסחה: $\;(2\cdot1-3)\cdot2^{1+1}=(-1)\cdot4=-4$

$2\neq-4$, ולכן הטענה נכשלת כבר בעבור $n=1$ והיא אינה נכונה. הצעד לבדו אינו מספיק: הוא רק "מעביר" נכונות מ-$k$ ל-$k+1$, ואין ממה להתחיל.

בדיקה נוספת, $n=2$: $\;T_2=2+3\cdot4=14$, ואילו בנוסחה $(4-3)\cdot8=8$. גם כאן אין שוויון.

הסרטוט (קטע האמצעים מקביל לבסיסים):

$EF$ קטע אמצעים בטרפז, ולכן $E$ אמצע $AD$ ו-$\;EF\parallel AB$.

במשולש $ABD$: הקטע $EG$ יוצא מאמצע הצלע $AD$ ומקביל ל-$AB$, ולכן הוא קטע אמצעים במשולש: $G$ אמצע $BD$, ו-$\;EG=\dfrac{AB}{2}$.

$ABHG$ מקבילית, וצלעות נגדיות במקבילית שוות: $\;GH=AB$.

מציבים: $\;GH=AB=2\cdot\dfrac{AB}{2}=2EG$ מש״ל

הסרטוט עם המשולש $DBH$:

$G$ אמצע $BD$ (הוכח בתת-סעיף 1).

$ABHG$ מקבילית, ולכן $\;AG\parallel BH$, כלומר $\;GM\parallel BH$ ($M$ על המשך $AG$).

במשולש $DBH$: הקטע $GM$ יוצא מאמצע הצלע $DB$ ומקביל לצלע $BH$, ולכן הוא קטע אמצעים — הוא חוצה את הצלע השלישית $DH$: $\;DM=MH$.

כלומר $AM$ חוצה את $DH$. מש״ל

העיקרון: אם לפונקציה יש נקודת קיצון, הנגזרת שלה מתאפסת שם (ומחליפה סימן).

לגרף II מינימום ב-$(2,\,-4.5)$. הגרף היחיד שמתאפס ב-$x=2$ ומחליף שם סימן הוא III (עובר ב-$(2,\,0)$). לכן III הוא הנגזרת של II.

לגרף III מינימום ב-$(0.8,\,-6)$. הגרף שמתאפס ב-$x=0.8$ ומחליף סימן הוא I (עובר ב-$(0.8,\,0)$). לכן I הוא הנגזרת של III.

השרשרת: $\;II\;\xrightarrow{\;\text{derivative}\;}\;III\;\xrightarrow{\;\text{derivative}\;}\;I$

בדיקת סימנים: III שלילי ב-$0<x<2$, ואכן II יורד שם ✓. I שלילי ב-$0<x<0.8$, ואכן III יורד שם ✓.

$f''$ (גרף I) מתאפסת ב-$x=0.8$ ומחליפה שם סימן (משלילי לחיובי), ולכן לגרף $f$ יש נקודת פיתול ב-$x=0.8$.

שיעור ה-$y$ מגרף II: $\;f(0.8)=-2$, כלומר נקודת הפיתול $(0.8,\,-2)$.

השיפוע מגרף III: $\;f'(0.8)=-6$

משוואת המשיק: $\;y-(-2)=-6(x-0.8)$

$y+2=-6x+4.8$

$y=-6x+2.8$

הפונקציה הקדומה של $f''$ היא $f'$:

$\displaystyle\int_0^{0.8}f''(x)\,dx=f'(0.8)-f'(0)$

מגרף III: $\;f'(0.8)=-6$, $\;\;f'(0)=0$

בדיקת סבירות: בגרף I, בתחום $0<x<0.8$, הגרף מתחת לציר ה-$x$. לכן האינטגרל שלילי ✓

נקודת חיתוך: $\;f(x)=\dfrac{1}{f(x)}\;\Rightarrow\;f^2(x)=1\;\Rightarrow\;f(x)=1\;$ או $\;f(x)=-1$

(מהגרף $f$ לעולם אינה $0$, ולכן $\dfrac1f$ מוגדרת בכל תחום ההגדרה של $f$.)

$f(x)=1$: בענפים החיצוניים הגרף מעל האסימפטוטה $y=k$, כלומר $f>k>1$. בענף האמצעי $f\le-a<0$. לכן אין פתרון.

$f(x)=-1$: רק בענף האמצעי. שם הערך הגבוה ביותר הוא $-a$ (המקסימום ב-$(0,\,-a)$), והענף יורד ל-$-\infty$ משני הצדדים.

אם $-a>-1$, כלומר $a<1$: הישר $y=-1$ חותך את הענף פעמיים (פעם בכל צד של ציר $y$) ✓

אם $a=1$: נקודה אחת בלבד, $(0,\,-1)$.

אם $a>1$: אין חיתוך.

בקצוות $f(x)\to k$, ולכן $\;\dfrac{1}{f(x)}\to\dfrac1k$: האסימפטוטה האופקית של $\dfrac1f$ היא $y=\dfrac1k$.

$k>1$, ולכן $\;\dfrac1k<1<k$. המרחק: $\;k-\dfrac1k=1.5$

כפל ב-$k$: $\;k^2-1=1.5k\;\Rightarrow\;k^2-1.5k-1=0$

$k=\dfrac{1.5\pm\sqrt{2.25+4}}{2}=\dfrac{1.5\pm2.5}{2}$

$k=2\;$ או $\;k=-0.5$

$k=-0.5$ נפסל (נתון $k>1$), ולכן $k=2$. בדיקה: $2-\dfrac12=1.5$ ✓