קיץ 2023 · מועד א

מנת הסדרה החדשה היא איבר חלקי האיבר שלפניו:

$\dfrac{\;\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\;}{\frac{a_n}{b_n}}=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\dfrac{b_n}{b_{n+1}}$

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q_A$ וגם $\dfrac{b_n}{b_{n+1}}=\dfrac{1}{q_B}$

מנת הסדרה החדשה: $\;\dfrac{q_A}{q_B}$

הסדרות מתכנסות ואינן קבועות, ולכן $\;-1<q_A<1$, $\;-1<q_B<1$, ושתי המנות שונות מ-$0$.

הסדרה $A$ אינה עולה ואינה יורדת. בסדרה עם מנה חיובית הסימן של כל האיברים זהה, והיא מונוטונית. לכן $q_A<0$: הסימנים מתחלפים.

הסדרה $B$ עולה. עם מנה שלילית הסימנים היו מתחלפים, ולכן $\;0<q_B<1$.

היגד (1): המנה החדשה $\dfrac{q_A}{q_B}$ היא שלילי חלקי חיובי, כלומר שלילית. ההיגד לא נכון.

היגד (2): $0<q_B<1$. אם $b_1>0$: כל האיברים חיוביים ו-$b_{n+1}=q_Bb_n<b_n$, והסדרה יורדת — בסתירה לנתון. לכן $b_1<0$, וכל האיברים שליליים (שלילי כפול חיובי). ההיגד נכון.

נתון: $\;c_2=-c_1$

בסדרה חשבונית ההפרש קבוע: $\;c_3=c_2+(c_2-c_1)=2c_2-c_1=-2c_1-c_1=-3c_1$

מציבים בנתון: $\;\dfrac{c_1\cdot(-c_1)}{-3c_1}=\dfrac{-c_1^2}{-3c_1}=\dfrac{c_1}{3}$ (מותר לצמצם: $c_1\neq0$, אחרת $c_3=0$ והשבר לא מוגדר)

שלושת הסכומים (כולן מתכנסות):

הסדרה החדשה: $\;\dfrac{\frac{a_1}{b_1}}{1-\frac{q_A}{q_B}}$

$A$: $\;\dfrac{a_1}{1-q_A}$, $\;\;B$: $\;\dfrac{b_1}{1-q_B}$

הנתון: $\;\dfrac{\frac{a_1}{b_1}}{1-\frac{q_A}{q_B}}=\dfrac{a_1}{b_1}\cdot\dfrac{1-q_B}{1-q_A}$

מצמצמים ב-$\dfrac{a_1}{b_1}\neq0$: $\;\dfrac{1}{1-\frac{q_A}{q_B}}=\dfrac{1-q_B}{1-q_A}$

כפל בהצלבה: $\;1-q_A=(1-q_B)\left(1-\dfrac{q_A}{q_B}\right)=1-\dfrac{q_A}{q_B}-q_B+q_A$

מסדרים: $\;0=-\dfrac{q_A}{q_B}-q_B+2q_A\;\;\Big/\cdot(-q_B)$

$q_B^2-2q_Aq_B+q_A=0$

מציבים $q_A=c_1=-\dfrac{1}{15}$: $\;q_B^2+\dfrac{2}{15}q_B-\dfrac{1}{15}=0\;\;\Big/\cdot15$

$15q_B^2+2q_B-1=0$

$q_B=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+60}}{30}=\dfrac{-2\pm8}{30}$

$q_B=\dfrac15\;$ או $\;q_B=-\dfrac13$

מסעיף ב: $0<q_B<1$, ולכן $q_B=\dfrac15$. בדיקה: המנה החדשה $\dfrac{q_A}{q_B}=-\dfrac13$, והסדרה החדשה אכן מתכנסת ✓