קיץ 2023 · מועד א

מהגרף: בתחום $x<0$ הגרף של $f'$ מעל ציר ה-$x$, כלומר $f'>0$.

בתחום $0<x<a$ הגרף של $f'$ מתחת לציר ה-$x$, כלומר $f'<0$.

נקודת פיתול של $f$: $f''$ מחליפה סימן, כלומר $f'$ עוברת מעלייה לירידה (או להפך) — נקודת קיצון של $f'$.

בתחום $x<0$: $f'$ עולה (נתון). אין לה קיצון, ולכן אין שם נקודת פיתול.

בתחום $0<x<a$: $f'$ עולה מ-$-\infty$ עד נקודת מקסימום אחת, ואז יורדת ל-$-\infty$. יש לה קיצון אחד.

לכן לפונקציה $f$ יש נקודת פיתול אחת, בתחום $0<x<a$.

$x<0$: $f$ עולה (סעיף א(1)) ומתחילה, כש-$x\to-\infty$, מהאסימפטוטה $y=0$. פונקציה שעולה מ-$0$ היא חיובית, ולכן $f>0$ והענף עולה אל $+\infty$ ליד $x=0$.

$0<x\le a$: $f$ יורדת ומגיעה ל-$f(a)=0$. פונקציה שיורדת עד $0$ חיובית לפני כן, ולכן $f>0$ והענף יורד מ-$+\infty$ (ליד $x=0$) אל $(a,\,0)$.

צורה בענף הימני: $f'$ עולה ואחר כך יורדת, ולכן $f$ קעורה כלפי מעלה ($\cup$) ואחר כך כלפי מטה ($\cap$), עם נקודת פיתול אחת (סעיף א(2)).

ליד $x=a$: $f'\to-\infty$, ולכן הגרף מגיע ל-$(a,\,0)$ כמעט אנכית (ראו סקיצה).

תחום הגדרה $x\le a$: $\sqrt{x-a}$ מוגדר רק כש-$x\ge a$, ולכן II ו-IV נפסלים. נשארים I ו-III, עם $\sqrt{a-x}$ (מוגדר כש-$x\le a$) ✓

סימן ב-$x<0$: מסעיף ב, $f>0$ שם.

III: $\;\dfrac{\sqrt{a-x}}{x}$ — מונה חיובי, מכנה שלילי, ולכן שלילי. נפסל.

I: $\;\dfrac{\sqrt{a-x}}{x^2}$ — מונה חיובי, מכנה חיובי, ולכן חיובי ✓

בדיקה נוספת של I: $f(a)=\dfrac{0}{a^2}=0$ ✓; אסימפטוטה $x=0$ ✓; וכש-$x\to-\infty$ המכנה $x^2$ גדל מהר יותר מהמונה, ולכן $f\to0$ ✓

$f(x)=(a-x)^{\frac12}\cdot x^{-2}$. כלל המכפלה:

$\left((a-x)^{\frac12}\right)'=-\dfrac{1}{2\sqrt{a-x}}$, $\;\;\left(x^{-2}\right)'=-2x^{-3}$

מציבים $x=-2$ ($x^2=4$, $\;x^3=-8$):

$f'(-2)=-\dfrac{1}{8\sqrt{a+2}}+\dfrac{2\sqrt{a+2}}{8}=-\dfrac{1}{8\sqrt{a+2}}+\dfrac{\sqrt{a+2}}{4}$

נסמן $s=\sqrt{a+2}>0$: $\;-\dfrac{1}{8s}+\dfrac{s}{4}=\dfrac{7}{16}\;\;\Big/\cdot16s$

$-2+4s^2=7s\;\Rightarrow\;4s^2-7s-2=0$

$s=\dfrac{7\pm\sqrt{49+32}}{8}=\dfrac{7\pm9}{8}$

$s=2\;$ או $\;s=-\dfrac14$ (נפסל, $s>0$)

עם $a=2$: $\;\big(f(x)\big)^2=\left(\dfrac{\sqrt{2-x}}{x^2}\right)^2=\dfrac{2-x}{x^4}$

הפונקציה מתאפסת ב-$x=2$ (קצה התחום), וחיובית ב-$x<2$, $\;x\neq0$. השטח הסגור בין הגרף, ציר ה-$x$ והישר $x=1$ הוא בתחום $1\le x\le2$ (משמאל ל-$x=1$ הגרף עולה לאסימפטוטה $x=0$, והשטח שם אינו סגור).

מפצלים: $\;\dfrac{2-x}{x^4}=2x^{-4}-x^{-3}$

ב-$x=2$: $\;-\dfrac{2}{24}+\dfrac18=-\dfrac{1}{12}+\dfrac18=\dfrac{1}{24}$

ב-$x=1$: $\;-\dfrac23+\dfrac12=-\dfrac16$