קיץ 2023 · מועד א

אנכית: המכנה $x$ מתאפס ב-$x=0$, והמונה שם $2a\neq0$ (כי $a>0$). לכן $x=0$ אסימפטוטה אנכית.

אופקית: דרגת המונה ($2$) גדולה מדרגת המכנה ($1$). נכתוב $f(x)=\dfrac{2a}{x}-x$: כש-$x\to\pm\infty$, $f\to\mp\infty$. לכן אין אסימפטוטה אופקית.

האסימפטוטה המאונכת לצירים היחידה היא $x=0$.

תחום ההגדרה $x\neq0$ סימטרי סביב $0$.

$f(-x)=-\dfrac{2a-x^2}{x}=-f(x)$, ולכן $f$ אי-זוגית. מש״ל

ציר $y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך עם ציר $y$.

ציר $x$: $\;f(x)=0\;\Rightarrow\;2a-x^2=0\;\Rightarrow\;x^2=2a\;\Rightarrow\;x=\pm\sqrt{2a}$

נקודות החיתוך: $\;\left(\sqrt{2a},\,0\right)$ ו-$\;\left(-\sqrt{2a},\,0\right)$ (סימטריות ביחס לראשית, כמתאים לפונקציה אי-זוגית).

$a>0$ ו-$x^2>0$, ולכן $-\dfrac{2a}{x^2}<0$, ו-$\;f'(x)<-1<0$ לכל $x$ בתחום.

הפונקציה יורדת בכל אחד מהתחומים $x<0$ ו-$x>0$. אין תחומי עלייה (ואין נקודות קיצון).

מתחילים מהנגזרת שמצאנו בתת-סעיף (4): $\;f'(x)=-2a\,x^{-2}-1$

גוזרים שוב: $\;f''(x)=-2a\cdot(-2)x^{-3}=4a\,x^{-3}=\dfrac{4a}{x^3}$

$4a>0$, ולכן הסימן של $f''$ הוא הסימן של $x^3$, כלומר של $x$:

מסעיף א: אסימפטוטה $x=0$; אפסים $\pm\sqrt{2a}$; יורדת בכל ענף; $\cap$ ב-$x<0$ ו-$\cup$ ב-$x>0$; סימטרית ביחס לראשית.

התנהגות לפי $f(x)=\dfrac{2a}{x}-x$:

כש-$x\to0^-$: $\;\dfrac{2a}{x}\to-\infty$, ולכן $f\to-\infty$

כש-$x\to0^+$: $\;f\to+\infty$

כש-$x\to-\infty$: $\;f\to+\infty$; כש-$x\to+\infty$: $\;f\to-\infty$

הענף השמאלי: יורד מ-$+\infty$, חוצה את הציר ב-$-\sqrt{2a}$, ויורד ל-$-\infty$ ליד $x=0$. הענף הימני הוא תמונת המראה שלו דרך הראשית (ראו סקיצה).

שלב 1 — $|f(x)|$: החלקים של $f$ שמתחת לציר ה-$x$ (ב-$-\sqrt{2a}<x<0$ וב-$x>\sqrt{2a}$) מתהפכים מעל הציר. כל הגרף עכשיו מעל הציר או עליו.

בנקודות $x=\pm\sqrt{2a}$ הגרף של $|f|$ נוגע בציר ויוצר "חוד": שם מינימום $0$. ליד $x=0$ שני הענפים עולים ל-$+\infty$.

שלב 2 — $-b$: כל הגרף יורד $b$ יחידות. נקודות המינימום עוברות ל-$\left(\pm\sqrt{2a},\,-b\right)$.

$g$ זוגית: $\;g(-x)=|f(-x)|-b=|-f(x)|-b=g(x)$, ולכן הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$ (ראו סקיצה).

$f$ יורדת בכל ענף, ולכן ל-$|f|$ אין קיצון מלבד החודים שבאפסים. נקודות הקיצון של $g$ הן רק $\left(\pm\sqrt{2a},\,-b\right)$ (סעיף ג).

הנקודה $(2,\,-3)$ עם $x>0$, ולכן: $\;\sqrt{2a}=2\;\Rightarrow\;2a=4\;\Rightarrow\;a=2$

שיעור ה-$y$: $\;-b=-3\;\Rightarrow\;b=3$

בדיקה: $\;g(2)=\left|\dfrac{4-4}{2}\right|-3=-3$ ✓

לפי המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי: $\;s'(x)=g(x)=\left|\dfrac{4-x^2}{x}\right|-3$ (עם $a=2$, $b=3$).

בתחום $1<x<2$: $f(x)=\dfrac{4-x^2}{x}>0$ ויורדת, ו-$f(1)=3$. לכן $0<f(x)<3$, כלומר $|f|<3$ ו-$g<0$.

בתחום $x>2$: $|f(x)|=\dfrac{x^2-4}{x}$, והיא עולה מ-$0$ ל-$\infty$. מתי היא שווה ל-$3$?

$\dfrac{x^2-4}{x}=3\;\Rightarrow\;x^2-3x-4=0\;\Rightarrow\;(x-4)(x+1)=0\;\Rightarrow\;x=4$

טבלת הסימנים של $s'=g$:

הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס בנקודה $x=4$, ולכן זו נקודת מינימום של $s$.