קיץ 2022 · מועד ב

בגרות במתמטיקה, שאלון 571: 8 שאלות, עם פתרון מלא לכל סעיף.

נתון

נתונה הפונקציה $\;f(x)=x^3+4x^2$ , המוגדרת לכל $x$ . הנקודה $B$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע השני (ראו סרטוט). מן הנקודה $B$ מעבירים משיק לגרף הפונקציה $f(x)$ . המשיק חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $C$ . נסמן ב- $t$ את שיעור ה- $x$ של הנקודה $B$ .

סעיף א

הביעו באמצעות $t$ את משוואת המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $B$ .

סעיף ב

ידוע כי הנקודה $C$ נמצאת מתחת לציר ה- $x$ .

מהו תחום הערכים של $t$ ?

סעיף ג

הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. מצאו את השטח המקסימלי של המשולש $OBC$ .

הבסיס $OC$ על ציר $y$ : $\;OC=\left|y_C\right|=2t^2(t+2)$ (חיובי בתחום $-2<t<0$ ).
הגובה מ- $B$ לציר $y$ : $\;|t|=-t$ .
$S(t)=\dfrac{2t^2(t+2)\cdot(-t)}{2}=-t^3(t+2)=-t^4-2t^3$
$S'(t)=-4t^3-6t^2=-2t^2(2t+3)$

$S'=0\;\Rightarrow\;t=-\dfrac32$ (בתחום)
$x$
$-2<t<-\frac32$
קיצון
$t=-\frac32$
$-\frac32<t<0$
$2t+3$ − 0 +
$S'(t)$ + 0max · מקסימום −
$S\left(-\frac32\right)=-\left(\frac{81}{16}\right)-2\left(-\frac{27}{8}\right)=-\dfrac{81}{16}+\dfrac{108}{16}=\dfrac{27}{16}=1.6875$

$x$	$-2<t<-\frac32$	קיצון $t=-\frac32$	$-\frac32<t<0$
$2t+3$	−	0	+
$S'(t)$	+	0max · מקסימום	−

S_{\max}=\dfrac{27}{16}=1.6875

(בעבור

t=-1.5

מקור פתרון: נכתב ונבדק על-ידי הצוות

איך מצליחים בבגרות עם ללמוד בדרך שלך

1מסלול לימוד לפי נושאים. כל נושא בנוי כסולם של רמות: לומדים את הרעיון, מתחממים, מבססים, מתאתגרים, ומגיעים לשאלת בגרות אמיתית.
2עזרה כשנתקעים. רמזים מדורגים ומורה פרטי שמסביר את הדרך, בלי לתת את התשובה.
3תיקון בדיוק איפה שטועים. המסלול מזהה טעות שחוזרת ומציע תרגול ממוקד עד שזה יושב.
4ובסוף, בגרויות אמיתיות. שאלונים משנים קודמות, עם פתרון מלא לכל סעיף, כמו כאן.

אפשר לתרגל בחינם, ומי שרוצה יכול לשדרג למנוי Pro.

למסלול הלמידה

שאלה 8: בעיות קיצון

איך מצליחים בבגרות עם ללמוד בדרך שלך