קיץ 2022 · מועד ב

בסיס ($n=1$): אגף שמאל $1^2=1$; אגף ימין $\dfrac{1\cdot2\cdot3}{6}=1$ ✓

הנחה ($n=k$): $\;1^2+2^2+\ldots+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

צעד ($n=k+1$): מוסיפים את $(k+1)^2$:

$\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\dfrac{(k+1)\big[k(2k+1)+6(k+1)\big]}{6}$

בסוגריים: $\;2k^2+k+6k+6=2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)$

ולכן: $\;\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

אגף ימין בעבור $n=k+1$: $\;\dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ — זהה ✓

הבסיס נכון ומ-$k$ נובע $k+1$, ולכן הטענה נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

הסרטוט:

$AEOF$: $\;\angle AEO=90^{\circ}$ ($BE\perp AC$) וגם $\angle AFO=90^{\circ}$ ($CF\perp AB$). אלה זוויות נגדיות, וסכומן $180^{\circ}$ — לכן המרובע בר-חסימה.

$BDOF$: $\;\angle BDO=90^{\circ}$ ($AD\perp BC$) וגם $\angle BFO=90^{\circ}$ — נגדיות שסכומן $180^{\circ}$.

$CDOE$: $\;\angle CDO=90^{\circ}$ וגם $\angle CEO=90^{\circ}$ — נגדיות שסכומן $180^{\circ}$. מש״ל

במעגל החוסם את $AEOF$: $\;\angle AEO=90^{\circ}$ היא זווית היקפית ישרה, ולכן $AO$ קוטר.

באופן דומה: $BO$ קוטר של המעגל החוסם את $BDOF$, ו-$CO$ קוטר של המעגל החוסם את $CDOE$.

היקף מעגל = $\pi\cdot d$ (קוטר):

$\pi\cdot AO+\pi\cdot BO+\pi\cdot CO=\pi(AO+BO+CO)$

נתון $AO+BO+CO=20$, ולכן הסכום: $\;20\pi\approx62.8$

השורש מוגדר כש-$x^2-25\ge0$, והוא במכנה, ולכן צריך $\;x^2-25>0$.

$x^2>25\;\Rightarrow\;x<-5\;$ או $\;x>5$

תחום ההגדרה: $\;x<-5$ או $x>5$.

אנכיות: כש-$x\to5^+$ המכנה $\to0^+$ והמונה $\to5$, ולכן $f\to+\infty$. כש-$x\to-5^-$ המונה $\to-5$, ולכן $f\to-\infty$. האסימפטוטות: $\;x=5$, $\;x=-5$.

אופקיות: $\;\dfrac{x}{\sqrt{x^2-25}}=\dfrac{x}{|x|\sqrt{1-\frac{25}{x^2}}}$

כש-$x\to+\infty$: $\;\to1$, ולכן $y=3+1=4$

כש-$x\to-\infty$: $\;\to-1$, ולכן $y=3-1=2$

ארבע האסימפטוטות $x=-5$, $x=5$, $y=2$, $y=4$ יוצרות מלבן שאורכו $5-(-5)=10$ ורוחבו $4-2=2$.

השטח: $\;10\cdot2=20$

תכונות לכל $a$: $f(-x)=-f(x)$ — הגרף סימטרי ביחס לראשית. אפס יחיד ב-$x=0$. אסימפטוטות $x=\pm2$ ו-$y=0$.

לכן גרפים א ו-ג נפסלים (סימטריים ביחס לציר $y$, לא לראשית), וגם ד (הענפים ליד $x=2$ לא מתאימים לפונקציה אי-זוגית עם אסימפטוטה ב-$x=-2$).

בעבור $a>0$: $\;f'<0$ בכל התחום — הפונקציה יורדת בכל ענף.

בגרף ב כל שלושת הענפים יורדים, והאמצעי עובר בראשית מלמעלה-שמאל ללמטה-ימין ✓

בעבור $a<0$: $\;f'(x)=\dfrac{-a\left(x^2+4\right)}{\left(x^2-4\right)^2}>0$ — הפונקציה עולה בכל ענף.

בנוסף: $x<-2$ נותן $ax>0$ ומכנה חיובי, ולכן $f>0$ שם — הענף השמאלי מעל הציר.

בגרף ה: כל הענפים עולים, השמאלי מעל הציר, והאמצעי עולה דרך הראשית ✓