קיץ 2022 · מועד ב

הסרטוט (בעבור $E$ אמצע $AD$, כמו בהמשך):

$\angle EAB=90^{\circ}$ (זווית מלבן). במרובע בר-חסימה $EABF$ זוויות נגדיות משלימות: $\;\angle EFB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$

$\angle BFC=180^{\circ}-\angle EFB=90^{\circ}$ (זוויות צמודות — $E$, $F$, $C$ על ישר אחד)

$\angle ADB=\angle DBC$ (זוויות מתחלפות, $AD\parallel BC$), כלומר $\angle ADB=\angle FBC$.

במשולשים $DAB$ ו-$BFC$: $\;\angle DAB=\angle BFC=90^{\circ}$ וגם $\angle ADB=\angle FBC$. לכן $\triangle DAB\sim\triangle BFC$ (ז.ז), בהתאמה $D\leftrightarrow B$, $A\leftrightarrow F$, $B\leftrightarrow C$. מש״ל

$DE\parallel BC$ ($E$ על $AD$), ולכן $\triangle DEF\sim\triangle BCF$ (זוויות מתחלפות וקודקודיות).

$DE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{BC}{2}$, ולכן יחס הדמיון $\;\dfrac{DE}{BC}=\dfrac12$

למשולשים $DEF$ ו-$DFC$ גובה משותף מ-$D$ לישר $EC$, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

$\dfrac{S_{DFC}}{S_{DEF}}=\dfrac{FC}{EF}=2$

$\triangle DEF\sim\triangle BCF$ ביחס $\frac12$, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

$\dfrac{S_{BFC}}{S_{DEF}}=2^2=4$

נסמן $DE=a$, ולכן $AD=BC=2a$, ונסמן $AB=h$. נשים את $C$ בראשית: $\;B(2a,0)$, $\;D(0,h)$, $\;E(a,h)$.

$CE\perp BD$ (סעיף א: $\angle BFC=90^{\circ}$):

$\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{BD}=(a,h)\cdot(-2a,h)=-2a^2+h^2=0\;\Rightarrow\;h=a\sqrt2$

יחס הדמיון (יתר ליתר): $\;\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{a\sqrt6}{2a}=\dfrac{\sqrt6}{2}\approx1.22$

$BC=AD=2a$, $\;AB=a\sqrt2$ (סעיף ד).

פיתגורס במשולש $ABD$: $\;BD^2=AD^2+AB^2=4a^2+2a^2=6a^2$

$\angle EAB=90^{\circ}$ היא זווית היקפית ישרה במעגל החוסם, ולכן $EB$ קוטר.

פיתגורס במשולש $EAB$: $\;EB^2=EA^2+AB^2=a^2+2a^2=3a^2$

הקוטר: $\;EB=a\sqrt3$