קיץ 2022 · מועד ב

אגף שמאל: $\;a_1\cdot a_{2n}=a_1\cdot a_1q^{2n-1}=a_1^2q^{2n-1}$

אגף ימין: $\;a_n\cdot a_{n+1}=a_1q^{n-1}\cdot a_1q^{n}=a_1^2q^{2n-1}$

שני האגפים שווים. מש״ל

ב-$2k$ איברים ראשונים, שני האמצעיים הם $a_k$ ו-$a_{k+1}$. מסעיף א: $\;a_k\cdot a_{k+1}=a_1\cdot a_{2k}$

$q=3\;$ או $\;q=-3$

המעריך $2k-1$ אי-זוגי, ולכן $q$ חיובי: $\;q=3$ ($q=-3$ היה נותן מספר שלילי).

$a_1=5>0$ ו-$q=3>1$: כל איבר גדול פי $3$ מקודמו — הסדרה עולה.

בדיקה: $a_{2k-2}=a_6=5\cdot3^5=1215$ ✓

המנה קבועה ואינה תלויה ב-$n$, ולכן $B$ הנדסית, עם מנה $\dfrac1q=\dfrac13$. מש״ל

בסדרה שלנו: $\;b_1=\dfrac15$, $\;\dfrac1q=\dfrac13$

$c_n=\dfrac{(-1)^n}{a_n}$. המנה: $\;\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=-\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=-\dfrac13$ — סדרה הנדסית.

האיבר הראשון: $\;c_1=-\dfrac15$. המנה $-\frac13$, ו-$\left|-\frac13\right|<1$ — מתכנסת.