קיץ 2022 · מועד ב

$\sin^2(-x)=(-\sin x)^2=\sin^2x$ וגם $\cos^2(-x)=\cos^2x$.

לכן $f$ זוגית.

כפל ב-$(-2)$ (מהפך את כיוון אי-השוויון): $\;-2\le-2\cos^2x\le0$ מש״ל

ציר $y$: $\;f(0)=-2\cos^20=-2\;\Rightarrow\;(0,\,-2)$

ציר $x$: $\;-2\cos^2x=0\;\Rightarrow\;\cos x=0$

בתחום: $\;x=\pm\dfrac{\pi}{2}$

$f(x)=-2\cos^2x$: מינימום $-2$ כש-$\cos x=\pm1$ ($x=-\pi,\,0,\,\pi$); מקסימום $0$ כש-$\cos x=0$ ($x=\pm\frac{\pi}{2}$).

זוגית — סימטרית ביחס לציר $y$, ומחזורית עם מחזור $\pi$.

הגרף: מ-$(-\pi,-2)$ עולה ל-$\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$, יורד ל-$(0,-2)$, עולה ל-$\left(\frac{\pi}{2},0\right)$ ויורד ל-$(\pi,-2)$ (הגרף הסגול בסקיצה).

$g(x)=f(2x)=-2\cos^2(2x)$, ערכיה בין $-2$ ל-$0$.

מקסימום ($0$): $\;\cos2x=0\;\Rightarrow\;2x=\pm\dfrac{\pi}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\dfrac{\pi}{4}$

מינימום ($-2$): $\;\cos2x=\pm1\;\Rightarrow\;2x=0,\pm\pi\;\Rightarrow\;x=0,\;\pm\dfrac{\pi}{2}$ (ב-$\pm\frac{\pi}{2}$ — נקודות קצה).

בדיקה עם הנגזרת: $\;g'(x)=8\cos2x\sin2x=4\sin4x$, מתאפסת ב-$x=0,\pm\frac{\pi}{4},\pm\frac{\pi}{2}$ ✓

נסמן $H=g-f$. זוגית (הפרש של זוגיות): $\;H(-x)=H(x)$.