קיץ 2022 · מועד ב

השורש מוגדר כש-$x+a\ge0$, והוא במכנה, ולכן $x+a\neq0$.

יחד: $\;x+a>0$

תחום ההגדרה: $\;x>-a$

כש-$x\to-a^+$ המכנה $\sqrt{x+a}\to0^+$. אם המונה שם $a^2-9\neq0$, אז $f\to\pm\infty$ — אסימפטוטה אנכית $x=-a$.

כדי שלא תהיה אסימפטוטה, המונה חייב להתאפס: $\;a^2-9=0\;\Rightarrow\;a=3$ ($a>0$).

בדיקה: $f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{\sqrt{x+3}}=(x-3)\sqrt{x+3}\to0$ כש-$x\to-3^+$ ✓. וכש-$x\to\infty$, $f\to\infty$ — אין גם אסימפטוטה אופקית ✓

עם $a=3$: $\;f(x)=(x-3)\sqrt{x+3}$, בתחום $x>-3$.

ציר $x$: $\;x=3$ (האפס $x=-3$ לא בתחום). הנקודה $(3,\,0)$.

ציר $y$: $\;f(0)=(0-3)\sqrt3=-3\sqrt3\approx-5.2$. הנקודה $\left(0,\,-3\sqrt3\right)$.

$f'(x)=0\;\Rightarrow\;x=-1$

התחום $x>-3$. הגרף מתחיל ליד הנקודה $(-3,\,0)$ (לא כולל) ויורד.

הגרף יורד עד המינימום $\left(-1,\,-4\sqrt2\right)$.

אחר כך הוא עולה, חותך את ציר $y$ ב-$\left(0,\,-3\sqrt3\right)$ ואת ציר $x$ ב-$(3,\,0)$, וממשיך לעלות אל $+\infty$.

הגרף הסגול בסקיצה (הירוק והוורוד שייכים לסעיף ג).

$g(x)=-f(x+2)$ מוגדרת כש-$x+2>-3$, כלומר $\;x>-5$.

$h(x)=|f(x)|$ מוגדרת בדיוק איפה ש-$f$ מוגדרת: $\;x>-3$.

(הזזה שמאלה ב-$2$ מזיזה גם את קצה התחום; ערך מוחלט לא משנה את התחום.)

$g=-f(x+2)$: הזזה ב-$2$ שמאלה ושיקוף ביחס לציר $x$. המינימום $\left(-1,-4\sqrt2\right)$ של $f$ עובר למקסימום $\left(-3,\,4\sqrt2\right)$.

$h=|f|$: בתחום $-3<x<3$ הפונקציה $f$ שלילית, ו-$|f|$ משקפת אותה מעל הציר. המינימום $\left(-1,-4\sqrt2\right)$ הופך למקסימום $\left(-1,\,4\sqrt2\right)$.

לשתיהן מקסימום בגובה $4\sqrt2$ — שווים (ראו סקיצה בסעיף ב(4)).

בתחום $-1\le x\le3$: $\;f\le0$, ולכן $h=-f$:

$\displaystyle\int_{-1}^{3}h\,dx=\int_{-1}^{3}\big(-f(x)\big)dx$

$g(x)=-f(x+2)$ — אותה פונקציה $-f$ מוזזת $2$ שמאלה. לכן:

$\displaystyle\int_{-3}^{k}g(x)\,dx=\int_{-1}^{k+2}\big(-f(u)\big)du$

השוויון: $\;\displaystyle\int_{-1}^{k+2}(-f)=\int_{-1}^{3}(-f)$. הפונקציה $-f$ חיובית ב-$(-1,3)$ ושלילית אחרי $3$, ולכן האינטגרל מ-$-1$ מגיע לערך הזה רק בגבול עליון $3$:

$k+2=3\;\Rightarrow\;k=1$