קיץ 2022 · מועד א

$f(x)=x^3$ — פולינום, מוגדר לכל $x$.

$g(x)=\sqrt{x^3}$ — שורש ריבועי מוגדר רק לביטוי אי-שלילי: $\;x^3\ge0$.

$x^3$ אי-שלילי בדיוק כש-$x\ge0$, ולכן תחום ההגדרה של $g$ הוא $x\ge0$.

מחפשים $x\ge0$ עם $\;x^3=\sqrt{x^3}$. נסמן $s=\sqrt{x^3}\ge0$: $\;s^2=s\;\Rightarrow\;s(s-1)=0$

בדיקה: $f(1)=1=\sqrt1=g(1)$ ✓ וגם $f(0)=0=g(0)$ ✓

$A(t,\,t^3)$, עם $0<t<1$ (בין נקודות החיתוך).

$B$ על $g$ עם אותו שיעור $y$: $\;\sqrt{x^3}=t^3\;\Rightarrow\;x^3=t^6\;\Rightarrow\;x=t^2$. כלומר $B(t^2,\,t^3)$.

$0<t<1\;\Rightarrow\;t^2<t$: $B$ משמאל ל-$A$.

$AB=t-t^2$

הבסיס $AB$ אופקי, בגובה $y=t^3$, ולכן הגובה מ-$O$ אליו הוא $t^3$:

$S(t)=\dfrac{AB\cdot t^3}{2}=\dfrac{\left(t-t^2\right)t^3}{2}=\dfrac{t^4-t^5}{2}$

$S'(t)=0\;\Rightarrow\;t=\dfrac45$ (בתחום $0<t<1$).

$AB=t-t^2$ היא פרבולה "עצובה" עם קדקוד ב-$\;t=\dfrac12$ (שם $(t-t^2)'=1-2t=0$).

השטח המקסימלי מתקבל ב-$t=0.8\neq0.5$.

לכן לא: כשהשטח מקסימלי, אורך $AB$ אינו מקסימלי (הגובה $t^3$ ממשיך לגדול, ולכן "משתלם" להזיז את $A$ ימינה).