קיץ 2022 · מועד א

המכנה: $\;2\cos x\neq0\;\Rightarrow\;\cos x\neq0$

בתחום $0\le x\le2\pi$: $\;\cos x=0$ ב-$x=\dfrac{\pi}{2}$ וב-$x=\dfrac{3\pi}{2}$.

תחום ההגדרה: $\;0\le x\le2\pi$, $\;x\neq\dfrac{\pi}{2}$, $\;x\neq\dfrac{3\pi}{2}$.

$\sin2x=2\sin x\cos x$, ולכן:

$f(x)=\dfrac{2\cos x\left(\cos x+\sin x\right)}{2\cos x}=\cos x+\sin x$ (כש-$\cos x\neq0$)

הביטוי $\cos x+\sin x$ חסום ($|\cos x+\sin x|\le\sqrt2$). ליד $x=\frac{\pi}{2}$ ו-$x=\frac{3\pi}{2}$ הפונקציה מתקרבת לערכים סופיים ($1$ ו-$-1$), ולא לאינסוף.

לכן בנקודות האלה יש "חורים" בגרף ולא אסימפטוטות אנכיות.

ציר $y$: $\;f(0)=\cos0+\sin0=1\;\Rightarrow\;(0,\,1)$

ציר $x$: $\;\sin x+\cos x=0\;\Rightarrow\;\tan x=-1$ (מותר לחלק, כי $\cos x\neq0$ בתחום)

בתחום: $\;x=\dfrac{3\pi}{4}$, $\;x=\dfrac{7\pi}{4}$

בתחום ההגדרה $\;f(x)=\cos x+\sin x$ (סעיף א(2)).

$f'(x)=\cos x-\sin x$ מש״ל

טבלת הסימנים של $f'=\cos x-\sin x$:

$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}=\sqrt2$ — מקסימום

$f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\sqrt2$ — מינימום

קצוות: $f(0)=1$ והפונקציה עולה מימין לו — קצה מינימום $(0,\,1)$. $\;f(2\pi)=1$ והפונקציה עולה אליו — קצה מקסימום $(2\pi,\,1)$.

בתחום: $f(x)=\sin x+\cos x$, עם "חורים" ב-$\left(\frac{\pi}{2},\,1\right)$ וב-$\left(\frac{3\pi}{2},\,-1\right)$.

נקודות: $(0,1)$ ← מקסימום $\left(\frac{\pi}{4},\sqrt2\right)$ ← חור $\left(\frac{\pi}{2},1\right)$ ← $\left(\frac{3\pi}{4},0\right)$ ← מינימום $\left(\frac{5\pi}{4},-\sqrt2\right)$ ← חור $\left(\frac{3\pi}{2},-1\right)$ ← $\left(\frac{7\pi}{4},0\right)$ ← $(2\pi,1)$.

הצורה: גל אחד שלם (סינוסואידה עם משרעת $\sqrt2$), עם שני עיגולים ריקים במקומות החורים (ראו סקיצה).

$k=\sqrt2$ ו-$k=-\sqrt2$: הקו נוגע רק בנקודת המקסימום או רק בנקודת המינימום — פתרון יחיד ✓

$k=1$: הקו פוגש את $(0,1)$, את $(2\pi,1)$ ואת החור $\left(\frac{\pi}{2},1\right)$. החור לא נחשב, אבל נשארים שני פתרונות.

$k=-1$: הקו פוגש את $(\pi,-1)$ ואת החור $\left(\frac{3\pi}{2},-1\right)$. החור לא נחשב, ולכן נשאר פתרון יחיד, $x=\pi$ ✓

כל ערך אחר בין $-\sqrt2$ ל-$\sqrt2$ נותן שני פתרונות (גל שלם), וערכים מחוץ לטווח — אף פתרון.

בתחום $\frac{3\pi}{4}\le x\le\frac{5\pi}{4}$: $\;f'\le0$ (מטבלת הסימנים), ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל.