קיץ 2022 · מועד א

הביטוי $\dfrac2x$ אינו מוגדר כש-$x=0$.

הביטוי $2x$ מוגדר לכל $x$.

תחום ההגדרה: $\;x\neq0$.

התחום $x\neq0$ סימטרי סביב $0$.

לכן $f$ אי-זוגית.

טבלת הסימנים (המכנה $x^2>0$):

מקסימום $(-1,\,-4)$, מינימום $(1,\,4)$.

$f'(x)=2-\frac{2}{x^2}$: זוגית (סימטרית לציר $y$), אסימפטוטה אופקית $y=2$, ושואפת ל-$-\infty$ ליד $x=0$. זה גרף III.

$f(x)$: אי-זוגית, עם מקסימום $(-1,-4)$ ומינימום $(1,4)$: הענף הימני יורד ואז עולה, והשמאלי עולה ואז יורד. זה גרף II.

$g(x)$: $\;g=\left(2x+\frac2x\right)\left(2-\frac{2}{x^2}\right)=4x-\dfrac{4}{x^3}$. ליד $0^+$: $g\to-\infty$; ליד $0^-$: $g\to+\infty$; ובקצוות מתקרבת לישר $y=4x$. זה גרף I.

$g=f\cdot f'=0$ כאשר $f=0$ או $f'=0$.

$f(x)=2x+\dfrac2x=\dfrac{2\left(x^2+1\right)}{x}\neq0$ תמיד (המונה חיובי).

$f'(x)=0\;\Rightarrow\;x=\pm1$ (סעיף א(3)).

קדומה: $\;\left(\dfrac{f^2}{2}\right)'=\dfrac{2f\cdot f'}{2}=f\cdot f'=g$

ערכים: $\;f\left(\frac14\right)=\frac12+8=8.5$, $\;f(1)=4$, $\;f(4)=8+\frac12=8.5$

$\frac14\le x\le1$: $f'<0$ ו-$f>0$, ולכן $g<0$:

$S_1=-\left[\dfrac{f^2}{2}\right]_{1/4}^{1}=-\left(\dfrac{16}{2}-\dfrac{72.25}{2}\right)=28.125$

לכן האינטגרל שווה ל-$0$ (השטחים מעל ומתחת לציר שווים, כמו בסעיף ד).

$h'(x)=f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{x^2}\ge0$ בתחום $x\ge1$ (שווה ל-$0$ רק ב-$x=1$). לכן $h$ עולה.

הנקודה היחידה היא קצה התחום $x=1$: $\;h(1)=0$. $h$ עולה ממנה והלאה, ולכן זו נקודת מינימום (קצה).