קיץ 2022 · מועד א

הסרטוט (בעבור $\alpha=30^{\circ}$, כפי שיתברר בהמשך):

$\angle AGB$: במשולש $ADG$: $\;\angle DAG=90^{\circ}$, $\;\angle ADG=\alpha$, ולכן $\;\angle AGD=90^{\circ}-\alpha$ (ו-$\angle AGB$ היא אותה זווית).

$\angle ABG$: $\;\angle ABC=\angle BDC=\alpha$ (זווית בין משיק למיתר $BC$ שווה לזווית ההיקפית עליו).

$\angle CBD=90^{\circ}$ (זווית היקפית על הקוטר $CD$).

$\angle ABD=\alpha+90^{\circ}$, ולכן $\;\angle ABG=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\alpha\right)=90^{\circ}-\alpha$ (זוויות צמודות).

במשולשים $ABC$ ו-$ADB$:

$\angle BAC=\angle DAB$ (זווית משותפת)

$\angle ABC=\angle ADB=\alpha$ (סעיף א: זווית בין משיק למיתר)

לכן $\;\triangle ABC\sim\triangle ADB$ (ז.ז), בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow B$.

יחס הדמיון: $\;\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{DB}$

מהשוויון $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{DB}$ מקבלים (הופכים את שני האגפים): $\;\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{BC}$ מש״ל

מסעיף א המשולש $ABG$ שווה-שוקיים, ולכן $\;AB=AG=8$.

$DC=2R$ (קוטר), ולכן $\;AC=R$, $\;AD=AC+CD=3R$.

מהדמיון (סעיף ב): $\;\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AB}\;\Rightarrow\;AB^2=AC\cdot AD$

$\angle DAG=90^{\circ}$ (נתון $AG\perp AD$) וגם $\angle DBC=90^{\circ}$ (זווית היקפית על הקוטר $CD$).

$\angle ADG=\angle BDC=\alpha$ (אותה זווית: $G$ על הישר $DB$ ו-$C$ על הישר $DA$).

לכן $\;\triangle ADG\sim\triangle BDC$ (ז.ז), בהתאמה $A\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow D$, $G\leftrightarrow C$. מש״ל

מסעיפים ב, ג: $\;\dfrac{DB}{BC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{8}{8/\sqrt3}=\sqrt3$

במשולש ישר-הזווית $BDC$: $\;\tan\alpha=\dfrac{BC}{DB}=\dfrac{1}{\sqrt3}\;\Rightarrow\;\alpha=30^{\circ}$

$BD=DC\cos30^{\circ}=2R\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3$

יחס הדמיון: $\;k=\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{3R}{R\sqrt3}=\sqrt3$

יחס השטחים הוא $k^2=3$: $\;S_{ADG}=3S$