קיץ 2022 · מועד א

נוכיח באינדוקציה על $n$ שהביטוי $4^n - 1$ מתחלק ב-$3$.

בסיס האינדוקציה, $n = 1$: $\;4^1 - 1 = 3 = 3 \cdot 1$, ולכן מתחלק ב-$3$.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n = k$ הביטוי מתחלק ב-$3$, כלומר $\;4^k - 1 = 3m$ עבור $m$ שלם.

צעד האינדוקציה: נוכיח שגם $4^{k+1} - 1$ מתחלק ב-$3$.

נפתח: $\;4^{k+1} - 1 = 4 \cdot 4^k - 1$.

נוסיף ונחסר $4$: $\;4 \cdot 4^k - 4 + 3 = 4\,(4^k - 1) + 3$.

לפי הנחת האינדוקציה $4^k - 1 = 3m$: $\;4 \cdot 3m + 3 = 3\,(4m + 1)$.

קיבלנו כפולה של $3$, ולכן $4^{k+1} - 1$ מתחלק ב-$3$.

לפי עקרון האינדוקציה, $4^n - 1$ מתחלק ב-$3$ ללא שארית לכל $n$ טבעי.

נקשר את הביטוי לתוצאה מסעיף א1. נכתוב $\;4^{n+1} + p = 4 \cdot 4^n + p$.

נוסיף ונחסר $4$: $\;4 \cdot 4^n - 4 + 4 + p = 4\,(4^n - 1) + (4 + p)$.

מסעיף א1 $4^n - 1 = 3m$, ולכן $\;4\,(4^n - 1) = 12m$ — מתחלק ב-$12$.

לכן כדי ש-$4^{n+1} + p$ יתחלק ב-$12$, די שגם המחובר $4 + p$ יתחלק ב-$12$.

נבחר את הדוגמה הפשוטה ביותר: $\;4 + p = 12$, כלומר $p = 8$.

בדיקה: $\;4^{n+1} + 8 = 4\,(4^n - 1) + 12 = 12m + 12 = 12\,(m + 1)$ — מתחלק ב-$12$.

תחום ההגדרה: הביטוי $\dfrac{1}{x}$ מוגדר לכל $x \ne 0$, ולכן תחום ההגדרה הוא $\;x \ne 0$.

אסימפטוטה אנכית — כאשר $x \to 0^+$: $\;\dfrac{1}{x} \to +\infty$, ולכן $2 - \dfrac{1}{x} \to -\infty$ ו-$f(x) \to -\infty$.

כאשר $x \to 0^-$: $\;\dfrac{1}{x} \to -\infty$, ולכן $2 - \dfrac{1}{x} \to +\infty$ ו-$f(x) \to +\infty$; מכאן ש-$x = 0$ אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית — כאשר $x \to \pm\infty$: $\;\dfrac{1}{x} \to 0$, ולכן $2 - \dfrac{1}{x} \to 2$ ו-$f(x) \to 2^3 = 8$.

לכן $\;y = 8$ אסימפטוטה אופקית (בשני הכיוונים).

נגזור בכלל השרשרת. הפנימי הוא $2 - \dfrac{1}{x}$, ונגזרתו $\dfrac{1}{x^2}$.

המונה $3\left(2 - \tfrac{1}{x}\right)^2 \ge 0$ (ריבוע) והמכנה $x^2 > 0$, ולכן $\;f'(x) \ge 0$ לכל $x \ne 0$.

הנגזרת אינה שלילית, ולכן $f(x)$ עולה בכל אחד מענפי תחום הגדרתה (ב-$x = \tfrac{1}{2}$ יש משיק אופקי, אך ללא שינוי מגמה).

אסימפטוטת הנגזרת: מכיוון שבקצוות $f(x) \to 8$ (מתייצבת), הנגזרת שואפת לאפס, $\;f'(x) \to 0$ כאשר $x \to \pm\infty$.

לכן לגרף $f'(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $\;y = 0$ (וכולו מעל ציר $x$ או עליו, כי $f' \ge 0$).

נגזור שנית ונפשט: $\;f''(x) = \dfrac{12(2x - 1)(1 - x)}{x^5}$.

מאפסים: $\;f''(x) = 0$ כאשר $2x - 1 = 0$ או $1 - x = 0$, כלומר $x = \tfrac{1}{2}$ או $x = 1$.

סביב $x = \tfrac{1}{2}$: $f''$ עובר ממינוס לפלוס — שינוי קעירות, ולכן נקודת פיתול.

סביב $x = 1$: $f''$ עובר מפלוס למינוס — שינוי קעירות, ולכן נקודת פיתול.

הנקודה $x = 0$ אינה בתחום ההגדרה, ולכן אינה נקודת פיתול (על אף שינוי סימן שם).

ערכי הפונקצייה: $\;f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = (2 - 2)^3 = 0$ ו-$f(1) = (2 - 1)^3 = 1$.

ענף שמאלי ($x < 0$): $f$ עולה מ-$y = 8^+$ (כאשר $x \to -\infty$) עד $+\infty$ (כאשר $x \to 0^-$), וכולו מעל $y = 8$.

ענף ימני ($x > 0$): $f$ עולה מ-$-\infty$ (כאשר $x \to 0^+$), דרך $\left(\tfrac{1}{2}, 0\right)$ ו-$(1, 1)$, ומתקרב ל-$y = 8^-$ (כאשר $x \to +\infty$).

שתי נקודות הפיתול, $\left(\tfrac{1}{2}, 0\right)$ (משיק אופקי) ו-$(1, 1)$, נמצאות בענף הימני.

$h(0) = \displaystyle\int_0^0 f(x)\,dx = 0$ (אין שטח).

עד $x = 3$ הגרף מעל ציר $x$; נחשב את השטח בעזרת שלוש צורות.

מלבן על $[0, 1]$ (גובה $2$, רוחב $1$): $\;S_1 = 1 \cdot 2 = 2$.

טרפז על $[1, 2]$ (בסיסים $2$ ו-$4$, גובה $1$): $\;S_2 = \dfrac{(2 + 4) \cdot 1}{2} = 3$.

משולש על $[2, 3]$ (בסיס $1$, גובה $4$): $\;S_3 = \dfrac{1 \cdot 4}{2} = 2$.

לכן $\;h(3) = S_1 + S_2 + S_3 = 2 + 3 + 2 = 7$.

בין $x = 3$ ל-$x = 5$ הגרף מתחת לציר — משולש (בסיס $2$, גובה $2$): $\;S_4 = \dfrac{2 \cdot 2}{2} = 2$, ונספר בסימן שלילי.

לכן $\;h(5) = h(3) - S_4 = 7 - 2 = 5$.

לפי המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי, $\;h'(t) = f(t)$.

בתחום $0 < t < 3$ מתקיים $f(t) > 0$, ולכן $h'(t) > 0$ ו-$h$ עולה.

בתחום $3 < t < 7$ מתקיים $f(t) < 0$, ולכן $h'(t) < 0$ ו-$h$ יורדת.

ב-$t = 3$ הנגזרת מתאפסת ומשנה סימן מפלוס למינוס — נקודת מקסימום.

ערך המקסימום חושב בסעיף ג1: $\;h(3) = 7$, ולכן נקודת המקסימום היא $(3, 7)$.

במשולש שווה-השוקיים $ABC$ זווית הראש היא $\angle BAC = 2\alpha$, ולכן זוויות הבסיס: $\;\angle ABC = \angle ACB = \dfrac{180° - 2\alpha}{2} = 90° - \alpha$.

הצלע $DE$ משיקה למעגל בנקודה $A$; לפי משפט הזווית בין משיק למיתר, הזווית בין המשיק למיתר $AB$ שווה לזווית ההיקפית $\angle ACB$: $\;\angle BAE = \angle ACB = 90° - \alpha$.

באותו אופן, הזווית בין המשיק $DE$ למיתר $AC$: $\;\angle CAD = \angle ABC = 90° - \alpha$.

מהנקודה $E$ יוצאים שני משיקים למעגל — $EA$ (על $DE$) ו-$EB$ (על $EF$) — ולכן $EA = EB$, והמשולש $EAB$ שווה-שוקיים.

לכן זוויות הבסיס של $\triangle EAB$ שוות: $\;\angle EBA = \angle EAB = 90° - \alpha$.

סכום הזוויות ב-$\triangle EAB$: $\;\angle E = 180° - (90° - \alpha) - (90° - \alpha) = 2\alpha$.

באותו אופן מהנקודה $D$: $DA = DC$, המשולש $DAC$ שווה-שוקיים, $\angle DCA = \angle DAC = 90° - \alpha$, ולכן $\;\angle D = 2\alpha$.

סכום הזוויות במשולש $DEF$ שווה $180°$: $\;\angle D + \angle E + \angle F = 180°$.

מסעיף ד1 $\angle D = \angle E = 2\alpha$, ולכן $\;2\alpha + 2\alpha + \angle F = 180°$.

מבודדים: $\;\angle F = 180° - 4\alpha$.