קיץ 2022 · מועד א

התכנסות $I$: נתון $0 < r < \tfrac{1}{3}$, ולכן $0 < r^2 < \tfrac{1}{9}$, ומכאן $\;0 < q_1 = 9r^2 < 1$.

מכיוון ש-$|q_1| < 1$, הסדרה $I$ מתכנסת.

קשר בין המנות: $\;b_3 = a_2 = a_1 q_1$, ומצד שני $b_3 = b_1 q^2 = a_1 q^2$ (כי $b_1 = a_1$).

משווים: $\;a_1 q^2 = a_1 q_1$, ומכאן $q^2 = q_1 = 9r^2$.

המנה חיובית (סדרה יורדת של איברים חיוביים), ולכן $\;q = 3r$.

מנת הסדרה $II$ היא $q = 3r$, ונתון $0 < r < \tfrac{1}{3}$.

לכן $\;0 < q = 3r < 3 \cdot \tfrac{1}{3} = 1$.

מכיוון ש-$|q| < 1$, גם הסדרה $II$ מתכנסת.

סכומי הסדרות: $\;S_I = \dfrac{a_1}{1 - q_1}$ ו-$S_{II} = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{a_1}{1 - q}$ (כי $b_1 = a_1$).

מציבים בתנאי $S_{II} = \tfrac{4}{3} S_I$: $\;\dfrac{a_1}{1 - q} = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{a_1}{1 - q_1}$.

מצמצמים $a_1$ וכופלים במכנים: $\;3(1 - q_1) = 4(1 - q)$.

מציבים $q_1 = 9r^2$ ו-$q = 3r$: $\;3(1 - 9r^2) = 4(1 - 3r)$.

מפרקים $1 - 9r^2 = (1 - 3r)(1 + 3r)$: $\;3(1 - 3r)(1 + 3r) = 4(1 - 3r)$.

מחלקים ב-$(1 - 3r)$ (חיובי, כי $r < \tfrac{1}{3}$): $\;3(1 + 3r) = 4$.

פותרים: $\;3 + 9r = 4$, ומכאן $r = \dfrac{1}{9}$.

האיברים במקומות הזוגיים $b_2, b_4, b_6, \ldots$ יוצרים סדרה הנדסית שאיברה הראשון $b_2$ ומנתה $q^2 = \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = \tfrac{1}{9}$.

סכומה: $\;\dfrac{b_2}{1 - q^2} = \dfrac{b_2}{1 - \tfrac{1}{9}} = \dfrac{b_2}{\tfrac{8}{9}} = \dfrac{9}{8} b_2$.

משווים ל-$12$: $\;\dfrac{9}{8} b_2 = 12$, ומכאן $b_2 = \dfrac{32}{3}$.

מכיוון ש-$b_2 = b_1 q = b_1 \cdot \tfrac{1}{3}$: $\;b_1 \cdot \tfrac{1}{3} = \dfrac{32}{3}$, ולכן $b_1 = 32$.

ומכיוון ש-$a_1 = b_1$: $\;a_1 = 32$.

האיברים $b_5, b_{10}, b_{15}, \ldots$ יוצרים סדרה הנדסית שאיברה הראשון $b_5$ ומנתה $q^5 = \left(\tfrac{1}{3}\right)^5 = \tfrac{1}{243}$.

האיבר הראשון: $\;b_5 = b_1 q^4 = 32 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^4 = \dfrac{32}{81}$.

הסכום: $\;S = \dfrac{b_5}{1 - q^5} = \dfrac{\tfrac{32}{81}}{1 - \tfrac{1}{243}} = \dfrac{\tfrac{32}{81}}{\tfrac{242}{243}}$.

מפשטים: $\;S = \dfrac{32}{81} \cdot \dfrac{243}{242} = \dfrac{32 \cdot 3}{242} = \dfrac{96}{242} = \dfrac{48}{121}$.

נסמן איבר כללי $c_n$ בסדרה הנדסית מתכנסת שמנתה $q_c$.

סכום כל האיברים שאחריו: $\;c_{n+1} + c_{n+2} + \ldots = \dfrac{c_{n+1}}{1 - q_c} = \dfrac{c_n q_c}{1 - q_c}$.

היחס המבוקש: $\;\dfrac{c_n}{\;\dfrac{c_n q_c}{1 - q_c}\;} = \dfrac{1 - q_c}{q_c}$.

הביטוי $\dfrac{1 - q_c}{q_c}$ אינו תלוי ב-$n$, ולכן היחס זהה לכל איבר בסדרה.

בסדרה $II$ (מנה $q = \tfrac{1}{3}$): $\;\dfrac{1 - \tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}} = \dfrac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}} = 2$.