קיץ 2025 · מועד ב

בגרות במתמטיקה, שאלון 571: 8 שאלות, עם פתרון מלא לכל סעיף.

נתון

בסרטוט מתואר גרף הפונקציה $\;f(x)=\sqrt{R^2-x^2}\;$ ( $R$ פרמטר חיובי), המוגדרת בתחום $\;-R\le x\le R$ . הנקודה $A$ נמצאת על הגרף ברביע הראשון; דרכה העבירו ישר המקביל לציר ה- $x$ החותך את הגרף בנקודה נוספת $B$ . הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על ציר ה- $x$ כך שנוצר מלבן $ABCD$ . $F$ היא נקודת החיתוך של הצלע $AB$ עם ציר ה- $y$ , ו- $E$ היא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $y$ . נתון ריבוע שאורך צלעו שווה לאורך הקטע $EF$ . נסמן ב- $t$ את שיעור ה- $x$ של הנקודה $A$ .

סעיף א(1)

הביעו באמצעות $R$ ו- $t$ את אורך הקטע $EF$ .

סעיף א(2)

הביעו באמצעות $R$ ו- $t$ את היקף המלבן $ABCD$ .

סעיף ב

הביעו באמצעות $R$ את הערך של $t$ שבעבורו ההפרש בין היקף המלבן $ABCD$ לבין היקף הריבוע הוא מקסימלי.

צלע הריבוע היא $EF=R-\sqrt{R^2-t^2}$ , ולכן היקפו $4R-4\sqrt{R^2-t^2}$ .
פונקציית ההפרש, בתחום $0<t<R$ :
$h(t)=\left(4t+2\sqrt{R^2-t^2}\right)-\left(4R-4\sqrt{R^2-t^2}\right)$
מכנסים: $h(t)=4t-4R+6\sqrt{R^2-t^2}$
נגזרת: $h'(t)=4+6\cdot\dfrac{-2t}{2\sqrt{R^2-t^2}}=4-\dfrac{6t}{\sqrt{R^2-t^2}}$
$h'(t)=0$ : $4\sqrt{R^2-t^2}=6t \;\Rightarrow\; 2\sqrt{R^2-t^2}=3t$
שני האגפים חיוביים בתחום, ולכן מותר להעלות בריבוע:
$4\left(R^2-t^2\right)=9t^2 \;\Rightarrow\; 13t^2=4R^2$
$t=\dfrac{2R}{\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}R\approx0.55R$ (השורש השלילי נפסל כי $t>0$ )
טבלת הסימנים: בנגזרת המחוסר $\dfrac{6t}{\sqrt{R^2-t^2}}$ גדל לאורך כל התחום (המונה גדל והמכנה קטן), ולכן $h'$ מחליפה סימן פעם אחת:
$x$
$0<t<\frac{2R}{\sqrt{13}}$
קיצון
$t=\frac{2R}{\sqrt{13}}$
$\frac{2R}{\sqrt{13}}<t<R$
$h'(t)$ + 0max · מקסימום −
הסימן עובר מפלוס למינוס, ולכן זו נקודת מקסימום.

$x$	$0<t<\frac{2R}{\sqrt{13}}$	קיצון $t=\frac{2R}{\sqrt{13}}$	$\frac{2R}{\sqrt{13}}<t<R$
$h'(t)$	+	0max · מקסימום	−

t=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\,R\approx0.55R

מקור פתרון: נכתב ונבדק על-ידי הצוות

שאלה 8: חשבון דיפרנציאלי