קיץ 2025 · מועד ב

נסרטט לפי הנתונים (זוויות שוות מסומנות בקשת אחת):

$\angle ACK=\angle ABK$ (זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $AK$).

נתון: $\angle EKO=\angle ABK$

מכאן: $\angle ACE=\angle ACK=\angle ABK=\angle EKO$

$\angle AEC=\angle OEK$ (זוויות קודקודיות: $E$ נמצאת גם על $AB$ וגם על $CK$).

שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש האחר, ולכן $\triangle ACE \sim \triangle OKE$ (משפט דמיון ז.ז). מש״ל

נסרטט את המשך $KO$ עד הנקודה $P$ שעל $CB$:

מסעיף א: $\angle ACK=\angle EKO$, ואלה זוויות מתחלפות בין הישר $AC$ לישר $KP$ עם החותך $CK$, ולכן $AC \parallel KP$.

$O$ מרכז המעגל והקטע $AB$ קוטר, ולכן $AO=BO$: הנקודה $O$ היא אמצע הצלע $AB$.

במשולש $ABC$ הישר $PO$ עובר דרך אמצע הצלע $AB$ ומקביל לצלע $AC$, ולכן הוא חוצה את הצלע $BC$: הנקודה $P$ היא אמצע $BC$.

$PO$ מחבר את אמצע הצלע $AB$ ואמצע הצלע $BC$, ולכן הוא קטע אמצעים במשולש $ABC$. מש״ל

$PO$ קטע אמצעים (סעיף ב(1)), ולכן $AC=2\cdot PO=2\cdot7=14$.

$OK=AO=8.4$ (רדיוסים), ולכן $AE=AO-EO=8.4-EO$. בסרטוט האורך המבוקש $EO$ מסומן $x$:

יחס הדמיון מסעיף א: $\dfrac{AC}{OK}=\dfrac{AE}{OE}$

מציבים: $\dfrac{14}{8.4}=\dfrac{8.4-EO}{EO}$

כפל בהצלבה: $14\,EO=8.4(8.4-EO)=70.56-8.4\,EO$

יחס הדמיון בין המשולש $ACE$ למשולש $OKE$ (סעיף א): $\dfrac{AC}{OK}=\dfrac{14}{8.4}=\dfrac53$

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $\dfrac{S_{ACE}}{S_{OKE}}=\left(\dfrac53\right)^2=\dfrac{25}{9}$

נוריד מהקודקוד $K$ גובה אל הישר $AB$ (מקווקו). זה גובה משותף למשולש $AOK$ ולמשולש $OKE$:

גובה משותף, ולכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים: $\dfrac{S_{AOK}}{S_{OKE}}=\dfrac{AO}{EO}=\dfrac{8.4}{3.15}=\dfrac83$

מכפילים את שני היחסים: $\dfrac{S_{ACE}}{S_{AOK}}=\dfrac{S_{ACE}}{S_{OKE}}\cdot\dfrac{S_{OKE}}{S_{AOK}}$

מציבים: $\dfrac{S_{ACE}}{S_{AOK}}=\dfrac{25}{9}\cdot\dfrac38=\dfrac{25}{24}$