קיץ 2025 · מועד ב

המכנה חייב להיות שונה מאפס: $\cos x\ne0$

בתחום הנתון $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ מתקיים $\cos x=0$ רק בקצוות:

תחום ההגדרה: $-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$

אסימפטוטה אנכית מתקבלת שם שהמכנה מתאפס והמונה לא — כלומר בקצוות התחום.

כאשר $x\to\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^-$ מתקיים $\cos x\to0^+$

ולכן: $\dfrac{1}{\cos x}\to+\infty \;\Rightarrow\; f(x)\to+\infty$

מסימטריה, גם כאשר $x\to\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)^+$ מתקיים $f(x)\to+\infty$.

האסימפטוטות: $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$

הקוסינוס פונקציה זוגית: $\;\cos(-x)=\cos x$

$f(-x)=2\cos x+\dfrac{1}{\cos x}=f(x)$, ותחום ההגדרה סימטרי סביב הראשית ⟸ הפונקציה זוגית.

נגזרת: $f'(x)=-2\sin x+\dfrac{\sin x}{\cos^2x}$

מכנה משותף: $f'(x)=\dfrac{\sin x\left(1-2\cos^2x\right)}{\cos^2x}$

זהות הזווית הכפולה: $f'(x)=\dfrac{-\sin x\cos 2x}{\cos^2x}$

$f'(x)=0$: $\sin x=0$ או $\cos2x=0$

מהגורם $\sin x$: $x=0$

מהגורם $\cos2x$: $2x=\pm\dfrac{\pi}{2} \;\Rightarrow\; x=\pm\dfrac{\pi}{4}$ (כל השלושה בתחום)

טבלת הסימנים (המכנה $\cos^2x$ חיובי תמיד, ולכן הסימן נקבע במונה):

בנקודות $x=\pm\dfrac{\pi}{4}$ הסימן עובר ממינוס לפלוס, ולכן מינימום.

בנקודה $x=0$ הסימן עובר מפלוס למינוס, ולכן מקסימום.

ערכי הפונקציה: $f\!\left(\pm\dfrac{\pi}{4}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{2}{\sqrt2}$

מכנסים: $f\!\left(\pm\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2\approx2.83$

ובאמצע: $f(0)=2\cdot1+\dfrac11=3$

נקודות מינימום: $\left(\pm\dfrac{\pi}{4},\,2\sqrt2\right)$

נקודת מקסימום: $(0,\,3)$

תחום ההגדרה $-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$, ובשני הקצוות הגרף עולה אל $+\infty$ לאורך האסימפטוטות.

הפונקציה זוגית (סעיף ב), ולכן הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$.

מינימום בנקודות $\left(\pm\dfrac{\pi}{4},\,2\sqrt2\right)$ ומקסימום מקומי בנקודה $(0,3)$: "גבנון" קטן בין שתי הגומות.

ערך המינימום $2\sqrt2>0$, ולכן כל הגרף נמצא מעל ציר ה-$x$ ואין נקודות חיתוך עמו.

המכנה חייב להיות שונה מאפס: $\sin(2x)\ne0 \;\Rightarrow\; 2x\ne\pi k \;\Rightarrow\; x\ne\dfrac{\pi k}{2}$

בתחום $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$ נפסלים:

תחום ההגדרה: $-\dfrac{\pi}{2}<x<0$ וגם $0<x<\dfrac{\pi}{2}$

זהות הזווית הכפולה: $\;\sin(2x)=2\sin x\cos x$

מציבים במחובר השני: $\dfrac{2\sin x}{\sin(2x)}=\dfrac{2\sin x}{2\sin x\cos x}=\dfrac{1}{\cos x}$

(הצמצום בגורם $\sin x$ מותר: בתחום ההגדרה $x\ne0$, ולכן $\sin x\ne0$)

לכן $g(x)=2\cos x+\dfrac{1}{\cos x}$ לכל $x$ בתחום הגדרתה. מש״ל

לפי סעיף ה, לפונקציה $g$ ולפונקציה $f$ אותו ביטוי, אבל $x=0$ אינו בתחום ההגדרה של $g$: גרף $g$ הוא גרף $f$ בלי הנקודה $(0,3)$.

מספר נקודות החיתוך של גרף $f$ (הסקיצה בסעיף ד) עם הישר $y=k$:

הערך היחיד שנותן שלוש נקודות לגרף $f$ הוא $k=3$, אך אחת משלוש הנקודות היא בדיוק $(0,3)$, ה"חור" בגרף $g$.

לכן עבור $k=3$ הישר חותך את גרף $g$ בשתי נקודות בלבד, ובכל שאר הערכים מספר הנקודות הוא $0$, $2$ או $4$.

מסקנה: לא קיים ערך של $k$ שבעבורו הישר חותך את גרף $g$ בשלוש נקודות בדיוק.