קיץ 2025 · מועד ב

נסמן את ההסתברות שפרי שנבחר באקראי הוא תפוז באות $x$. הבחירות בלתי תלויות, והעץ לשתי בחירות (מסלול "שני תפוזים" מסומן):

שני תפוזים: $x^2=0.4096 \;\Rightarrow\; x=0.64$ (הסתברות חיובית)

יש שני סוגי פירות בלבד, ולכן P(לימון) $=1-0.64=0.36$

נסמן את ההסתברות שפרי מיועד לייצוא באות $y$. טבלה דו-ממדית, המשבצת המבוקשת מודגשת:

תפוז וגם ייצוא ($\dfrac35$ מן המיועדים לייצוא): $\dfrac35\cdot y=0.6y$

תפוז וגם לא לייצוא ($\dfrac15$ מהם לימונים, ולכן $\dfrac45$ תפוזים): $\dfrac45\cdot(1-y)=0.8(1-y)$

עמודת התפוזים מסתכמת בערך מסעיף א: $0.6y+0.8(1-y)=0.64$

פותחים סוגריים: $0.8-0.2y=0.64 \;\Rightarrow\; y=0.8$

תפוז וגם ייצוא (סעיף ב): $0.6\cdot0.8=0.48$

לימון וגם ייצוא: $0.8-0.48=0.32$

לימון וגם לא לייצוא: $\dfrac15\cdot0.2=0.04$

הטבלה המלאה, משבצות הלימונים מודגשות:

בדיקה (כל הלימונים): $0.32+0.04=0.36$ ✓

הסתברויות מותנות בלימון:

P(ייצוא | לימון) $=\dfrac{0.32}{0.36}=\dfrac89$

P(לא ייצוא | לימון) $=\dfrac{0.04}{0.36}=\dfrac19$

שני הלימונים נבחרו באופן בלתי תלוי. העץ, מסלולי "אחד לייצוא והאחר לא" מסומנים:

שני המסלולים המסומנים: $2\cdot\dfrac89\cdot\dfrac19=\dfrac{16}{81}\approx0.198$

מספר הפירות המיועדים לייצוא מבין $4$ הוא משתנה בינומי $X$ עם $n=4$ וגם $p=0.8$ (סעיף ב).

נוסחת ברנולי: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

אף פרי לא לייצוא: $P(X=0)=0.2^4=0.0016$

כל הארבעה לייצוא: $P(X=4)=0.8^4=0.4096$

הנתון "לפחות אחד מיועד לייצוא" הוא תנאי, ולכן הסתברות מותנית:

המכנה: $P(X\ge1)=1-0.2^4=1-0.0016=0.9984$

המונה: $1$, $2$ או $3$ פירות, כלומר לא $0$ ולא $4$:

המנה: $\dfrac{0.5888}{0.9984}\approx0.5897$