קיץ 2025 · מועד ב

הסדרה הנדסית ומנתה $\;0<q<1$, ולכן $\;a_{n+1}=q\cdot a_n$.

אם $\;a_1>0$: כל האיברים חיוביים ו-$\;a_{n+1}=q\,a_n<a_n\;$ — הסדרה יורדת, בסתירה לנתון.

אם $\;a_1<0$: כל האיברים שליליים (שלילי כפול חיובי), וכפל בשבר מקרב לאפס: $\;a_{n+1}=q\,a_n>a_n\;$ — הסדרה עולה ✓

מסקנה: כל איברי הסדרה $a_n$ שליליים.

שתי הסדרות הנדסיות עם אותה מנה $q$: $\;a_n=a_1q^{n-1}\;$ ו-$\;b_n=b_1q^{n-1}$.

$\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=\dfrac{(2b_1-a_1)q^{n}}{(2b_1-a_1)q^{n-1}}=q\;$ (הצמצום מותר כי נתון $c_n\ne0$).

המנה קבועה ואינה תלויה ב-$n$, ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$. מש״ל

לשלוש הסדרות אותה מנה $0<q<1$, ולכן לכל אחת סכום אין-סופי:

הנתון $S_c=8S_b$: $\dfrac{c_1}{1-q}=\dfrac{8b_1}{1-q}$

מצמצמים את המכנה: $c_1=8b_1$

מציבים $c_1=6\tfrac23$: $b_1=\dfrac{20}{3\cdot8}=\dfrac56$

הקשר $c_1=2b_1-a_1$: $\dfrac{20}{3}=2\cdot\dfrac56-a_1=\dfrac53-a_1$

$a_1=\dfrac53-\dfrac{20}{3}=-\dfrac{15}{3}=-5$ (שלילי, מתאים לסעיף א ✓)

מקומות אי-זוגיים $a_1,a_3,a_5,\ldots$: סדרה הנדסית שמנתה $q^2$

סכומה: $\dfrac{a_1}{1-q^2}$

מקומות זוגיים $a_2,a_4,\ldots$: סדרה הנדסית שמנתה $q^2$ ואיברה הראשון $a_1q$

סכומה: $\dfrac{a_1q}{1-q^2}$

הנתון, עם $a_1=-5$: $\dfrac{-5q}{1-q^2}=4+\dfrac{-5}{1-q^2}$

כפל במכנה $1-q^2$ (שונה מאפס כי $0<q<1$): $-5q=4(1-q^2)-5$

מסדרים: $-5q=-4q^2-1 \;\Rightarrow\; 4q^2-5q+1=0$

נוסחת השורשים: $q=\dfrac{5\pm\sqrt{25-16}}{8}=\dfrac{5\pm3}{8}$

$q=1$ או $q=\dfrac14$

$q=1$ נפסל (נתון $0<q<1$, ואז גם אין לסדרה סכום אין-סופי), ולכן $q=\dfrac14$.