קיץ 2025 · מועד ב

נסרטט לפי הנתונים:

במשולש $ABC$ (ישר-זווית בקודקוד $B$) הצלע $AC$ היא היתר, והצלע $AB=k$ היא הניצב הסמוך לזווית $\alpha$.

קוסינוס במשולש ישר-זווית: $\cos\alpha=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{k}{AC}$

$AC$ חוצה את הזווית $BAD$, ולכן $\angle CAD=\angle CAB=\alpha$:

משפט הקוסינוסים במשולש $ACD$: $CD^2=CA^2+DA^2-2\cdot CA\cdot DA\cdot\cos\alpha$

מציבים ($AC$ מסעיף א):

מצמצמים: $3.25k^2=\dfrac{k^2}{\cos^2\alpha}+2.25k^2-3k^2$

מחלקים במספר החיובי $k^2$: $3.25=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}-0.75$

$\cos\alpha=\dfrac12$

(הפתרון $\cos\alpha=-\dfrac12$ נפסל: $\alpha$ זווית חדה במשולש ישר-זווית)

$\alpha=60^\circ$ וגם $\angle ABC=90^\circ$, ולכן $\angle BCA=30^\circ$.

$M$ מרכז המעגל החסום, ולכן היא על חוצי הזוויות:

$\angle MAB=30^\circ$, $\angle MBA=45^\circ$

נוריד אנך $MN$ אל הצלע $AB$; אורכו הוא הרדיוס, $MN=r$:

במשולש $ANM$: $AN=\dfrac{r}{\tan30^\circ}=r\sqrt3$

במשולש $BNM$: $BN=\dfrac{r}{\tan45^\circ}=r$

במשולש ישר-זווית מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר, ולכן $E$ על $AC$ וגם $AE=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{2k}{2}=k$.

במשולש $ANM$ (סעיף ג): $AM=\dfrac{r}{\sin30^\circ}=2r=k(\sqrt3-1)\approx0.732k$

$E$ נמצאת על $AC$, ולכן $\angle EAB=\alpha=60^\circ$. עם $\angle MAB=30^\circ$ נקבל $\angle MAE=30^\circ$:

משפט הקוסינוסים במשולש $AME$: $ME^2=AM^2+AE^2-2\cdot AM\cdot AE\cdot\cos30^\circ$

מציבים:

מוציאים $k^2$ גורם משותף: $16=k^2\left[(4-2\sqrt3)+1-(3-\sqrt3)\right]=k^2(2-\sqrt3)$