חורף 2022

$x > 0$, וגם $(\ln x)^2 \ne 1$ כלומר $\ln x \ne \pm 1$ כלומר $x \ne \tfrac{1}{e},\,e$.

ב-$x = \tfrac{1}{e}$ ו-$x = e$: המכנה $\to 0$, המונה $\to 1$ — אסימפטוטות אנכיות.

ב-$x \to 0^+$ וב-$x \to \infty$: $(\ln x)^2 \to \infty$ והיחס $\to 1$ — אסימפטוטה אופקית.

$f\,'(x) = -\dfrac{2\ln x}{x\cdot((\ln x)^2-1)^2}$. סימן $= -\text{sign}(\ln x)$.

$0 < x < 1$: $\ln x < 0 \Rightarrow f\,' > 0$ (עולה).

$x > 1$: $\ln x > 0 \Rightarrow f\,' < 0$ (יורדת).

בפיצול לפי תחום ההגדרה: עולה ב-$(0,\tfrac{1}{e})\cup(\tfrac{1}{e},1)$, יורדת ב-$(1,e)\cup(e,\infty)$. נקודת מקסימום ב-$x=1$ עם $f(1) = 0$.

ענף שמאלי $(0,1/e)$: עולה מ-$y=1$ ל-$+\infty$.

ענף אמצעי $(1/e,e)$: עולה מ-$-\infty$ למקסימום $(1,0)$, אז יורדת ל-$-\infty$.

ענף ימני $(e,\infty)$: יורדת מ-$+\infty$ ל-$y=1$.

$f(x) = 1 \Rightarrow (\ln x)^2 = (\ln x)^2 - 1 \Rightarrow 0 = -1$ — סתירה.

הסיבה: $y=1$ אסימפטוטה אופקית — $f$ מתקרבת אבל לעולם לא מגיעה ל-$1$.

$f(x) = k$ כלומר $(\ln x)^2 = k\bigl((\ln x)^2 - 1\bigr)$ כלומר $(\ln x)^2(1-k) = -k$ כלומר $(\ln x)^2 = \dfrac{k}{k-1}$.

עבור $k > 1$: $\tfrac{k}{k-1} > 0$ $\Rightarrow \ln x = \pm\sqrt{\cdot}$ — שני פתרונות.

עבור $k < 0$: $\tfrac{k}{k-1}$ — שני שליליים, יחס חיובי — שני פתרונות.

עבור $k = 0$: $(\ln x)^2 = 0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x = 1$ — פתרון יחיד.

עבור $0 < k < 1$: $\tfrac{k}{k-1} < 0$ — אין פתרון.

עבור $k = 1$: סעיף ג1 — אין פתרון.

פישוט: $\;f - 1 = \dfrac{(\ln x)^2 - ((\ln x)^2 - 1)}{(\ln x)^2 - 1} = \dfrac{1}{(\ln x)^2 - 1}$.

אז $\;g(x) = \dfrac{1}{1/((\ln x)^2 - 1)} = (\ln x)^2 - 1$.

$g$ לא מוגדרת באותם המקומות שבהם $f$ לא מוגדרת ($x = \tfrac{1}{e}, e$). על ציר $x$: $A = (\tfrac{1}{e},\,0)$, $B = (e,\,0)$.

$h(\tfrac{1}{e}) = (-1)^2 + 1 = 2$, $\;h(e) = 1^2 + 1 = 2$. אז $D = (\tfrac{1}{e},\,2)$, $C = (e,\,2)$.

מלבן ברוחב $e - \tfrac{1}{e}$ וגובה $2$. שטח: $\;2\bigl(e - \tfrac{1}{e}\bigr) = \dfrac{2(e^2 - 1)}{e} \approx 4.70$.