חורף 2022

פיתוח: $\;(2a^2+5a+4)(a^2+8a+8) + (2a^2+3a+2)(-a^2+2a+2) = 0$.

אחרי איסוף איברים ופישוט: $\;22a^3 + 68a^2 + 82a + 36 = 0$, או חלוקה ב-$2$: $\;11a^3 + 34a^2 + 41a + 18 = 0$.

בדיקה $a=-1$: $\;-11 + 34 - 41 + 18 = 0$ ✓. פירוק: $(a+1)(11a^2 + 23a + 18) = 0$.

הדיסקרימיננטה של $11a^2+23a+18$: $\;529 - 792 < 0$ — אין שורשים ממשיים נוספים.

ב-$a=-1$: $z_1 = 1 + i$, ולכן $\tfrac{z_1}{\sqrt 2} = \tfrac{1+i}{\sqrt 2} = \text{cis}(45°)$.

$\text{cis}(180°n) = (-1)^n = \pm 1$ — תמיד ממשי. מש״ל

ב-$a=-1$: $z_2 = 1 - i$, $\;\tfrac{z_2}{\sqrt 2} = \text{cis}(-45°)$.

החלק הממשי: $\cos(-180°n-90°) = \cos(180°n+90°) = -\sin(180°n)\cdot(-1)^? = 0$ (כי $180°n + 90°$ הוא תמיד $90°$ או $270°$).

יותר ישיר: $\text{cis}(180°n - 90°) = \text{cis}(-90°)\cdot\text{cis}(180°n) = -i\cdot(-1)^n = (-1)^{n+1}\,i$ — מדומה טהור. מש״ל

4 הנקודות האפשריות: $1,-1,i,-i$ — קודקודי ריבוע על מעגל יחידה $|z|=1$.

תנאי: כולן באותו מרחק $m$ מ-$p$. $|1-p| = |-1-p|$ נותן $p=0$ (סימטריה לציר הממשי).

ב-$p=0$: $|1| = 1$, $|i| = 1 \Rightarrow m=1$.