חורף 2022

פרבולה: ראש בראשית, מוקד $(0,t)$ $\Rightarrow x^2 = 4ty$ (פותחת מעלה).

אליפסה: מרכז בראשית, מוקדים $(0,\pm t)$ $\Rightarrow c=t$, $a=2t$, $b^2 = 4t^2 - t^2 = 3t^2$.

משוואת האליפסה: $\;\dfrac{x^2}{3t^2} + \dfrac{y^2}{4t^2} = 1$.

מדריך הפרבולה: $\;y = -t$.

הצבה באליפסה: $\;\dfrac{x^2}{3t^2} + \dfrac{t^2}{4t^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{x^2}{3t^2} = \tfrac{3}{4} \Rightarrow x^2 = \tfrac{9t^2}{4}$.

הישר: $\;y=t$. הצבה בפרבולה: $\;x^2 = 4t\cdot t = 4t^2 \Rightarrow x = \pm 2t$.

$A,B$ סימטריות לציר $y$ (אותו $|x|$, אותו $y$); $C,D$ סימטריות לציר $y$. אז מעגל סימטרי לציר $y$ (מרכזו על הציר) עובר ב-$A$ אם ורק אם עובר ב-$B$, ובדומה ל-$C,D$.

נדרש $k$ אחד שעבורו $|MA|=|MC|$ עם $M=(0,k)$. נראה שהוא קיים בסעיף הבא, ולכן 4 הנקודות על מעגל יחיד. מש״ל

השוואה: $\;\tfrac{9t^2}{4} + (t+k)^2 = 4t^2 + (t-k)^2$.

פתיחה: $\tfrac{9t^2}{4} + t^2 + 2tk + k^2 = 4t^2 + t^2 - 2tk + k^2 \Rightarrow 4tk = \tfrac{7t^2}{4} \Rightarrow k = \tfrac{7t}{16}$.