חורף 2022

כל המרכיבים מוגדרים לכל $x$ ממשי.

נתון: $f\to -1 \Rightarrow m/4 = -1 \Rightarrow m = -4$.

ציר $y$: $\;f(0) = (1 - 3 - 4)/4 = -3/2$. נקודה: $(0,\,-3/2)$.

ציר $x$: $\;u^2 - 3u - 4 = 0 \Rightarrow (u-4)(u+1) = 0 \Rightarrow u = 4$ או $u = -1$. אך $u = e^x > 0$, אז $u = 4 \Rightarrow x = \ln 4$.

$f\,'(x) = \dfrac{e^x(2e^x - 3)}{4}$. $f\,' = 0$ ב-$x = \ln\tfrac{3}{2}$.

סימן: ב-$x < \ln\tfrac{3}{2}$, $\;2e^x < 3 \Rightarrow f\,' < 0$. ב-$x > \ln\tfrac{3}{2}$, $\;f\,' > 0$. אז מינימום.

ערך: $\;f(\ln\tfrac{3}{2}) = \dfrac{(3/2)^2 - 3\cdot 3/2 - 4}{4} = \dfrac{9/4 - 9/2 - 4}{4} = \dfrac{-25/4}{4} = -\tfrac{25}{16}$.

תיאור: עקומה שיורדת בעדינות מ-$y\to -1$ (משמאל ל-$-\infty$), חוצה את $(0,-3/2)$, ממשיכה למינימום $(\ln\tfrac{3}{2}, -\tfrac{25}{16})$, אז עולה דרך $(\ln 4, 0)$ ל-$+\infty$.

$g$ מוגדרת לכל $x$ עם $f(x)\ne 0$, כלומר $x\ne \ln 4$.

$x\to +\infty$: $g \to 0 + 1 = 1$. אסימפטוטה $\;y = 1$.

$x\to -\infty$: $g \to 1/(-1) + 1 = 0$. אסימפטוטה $\;y = 0$.

ב-$x = \ln 4$: $f \to 0$ — $g$ מתפוצצת. אסימפטוטה אנכית $\;x = \ln 4$.

בענף $x < \ln 4$: $g$ עולה מ-$y=0$ (משמאל), חוצה את ציר $x$ ב-$x=\ln 3$, ויורדת ל-$-\infty$ ב-$x \to (\ln 4)^-$.

בענף $x > \ln 4$: $g$ מ-$+\infty$ ב-$x \to (\ln 4)^+$ ויורדת ל-$y = 1$ ב-$+\infty$.

נסמן $F(t) = \displaystyle\int_0^t g(x)\,dx$. אז $F\,'(t) = g(t)$.

מקסימום כשתנאי $g(t) = 0$ ועובר מ-$+$ ל-$-$.

$g(t) = 0$ כלומר $1/f(t) = -1$ כלומר $f(t) = -1$.

פתרון: $\;\dfrac{e^{2t} - 3e^t - 4}{4} = -1 \Rightarrow e^{2t} - 3e^t = 0 \Rightarrow e^t(e^t - 3) = 0 \Rightarrow e^t = 3 \Rightarrow t = \ln 3$.

בדיקת תחום: $\ln 3 \approx 1.099 < \ln 4 \approx 1.386$ ✓. ובדיקת מעבר: לכל $t<\ln 3$ ב-$(0,\ln 4)$: $f(t)<-1$ $\Rightarrow g(t)>0$. ל-$\ln 3 < t < \ln 4$: $-1 < f < 0 \Rightarrow 1/f < -1 \Rightarrow g < 0$. כן מעבר $+$ ל-$-$ $\Rightarrow$ מקסימום.