קיץ 2025 · מועד ב

נדרשים שני תנאים: תנאי הלוגריתם, ותנאי שהמכנה אינו מתאפס.

תנאי הלוגריתם: $\;x > 0$.

תנאי המכנה: $\;1 + \ln x \ne 0$.

מכאן $\;\ln x \ne -1$, כלומר $\;x \ne e^{-1} = \dfrac{1}{e}$.

מאחדים: כל $x > 0$ פרט ל-$x = \dfrac{1}{e}$.

אסימפטוטה אנכית מתקבלת היכן שהמכנה מתאפס והמונה אינו מתאפס.

המכנה $1 + \ln x$ מתאפס ב-$x = \dfrac{1}{e}$ (מסעיף א1).

נבדוק את המונה שם: $\;\dfrac{1}{e} \cdot \ln\dfrac{1}{e} = \dfrac{1}{e} \cdot (-1) = -\dfrac{1}{e} \ne 0$.

מכיוון שהמונה שונה מאפס, הישר $\;x = \dfrac{1}{e}$ הוא אסימפטוטה אנכית.

אימות בגבולות חד-צדדיים: $\;\lim\limits_{x \to \frac{1}{e}^-} f(x) = +\infty$ (מונה שלילי חלקי מכנה שלילי השואף ל-$0$).

$\lim\limits_{x \to \frac{1}{e}^+} f(x) = -\infty$ (מונה שלילי חלקי מכנה חיובי השואף ל-$0$).

להשלמה: $\;\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 0$.

חיתוך עם ציר ה-$x$ מתקבל כאשר $\;f(x) = 0$, כלומר כאשר המונה מתאפס.

$x = 0$ נפסל — אינו בתחום ההגדרה.

נוודא שהמכנה שם אינו מתאפס: $\;1 + \ln 1 = 1 \ne 0$.

נגזור לפי כלל המנה. מונה $\;u = x \ln x$, מכנה $\;v = 1 + \ln x$.

נגזרות: $\;u' = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$, ו-$v' = \dfrac{1}{x}$.

המונה: $\;(\ln x + 1)^2 - \ln x$.

נפתח: $\;\ln^2 x + 2\ln x + 1 - \ln x = \ln^2 x + \ln x + 1$.

לכן $\;f'(x) = \dfrac{\ln^2 x + \ln x + 1}{(1 + \ln x)^2}$.

המכנה $(1 + \ln x)^2 > 0$ בכל תחום ההגדרה.

נבדוק את סימן המונה. נציב $t = \ln x$ ונקבל את הביטוי $t^2 + t + 1$.

הדיסקרימיננטה: $\;1 - 4 = -3 < 0$, והמקדם המוביל חיובי.

לכן $t^2 + t + 1 > 0$ לכל $t$ — המונה חיובי תמיד.

מכאן $f'(x) > 0$ בכל תחום ההגדרה: הפונקציה עולה בכל מקום שבו היא מוגדרת, ואין תחומי ירידה.

תחום ההגדרה: $x > 0$, $x \ne \frac{1}{e}$; אסימפטוטה אנכית $x = \frac{1}{e}$.

הפונקציה עולה בכל התחום, וחותכת את ציר ה-$x$ ב-$(1, 0)$.

בקטע $0 < x < \frac{1}{e}$ הפונקציה חיובית: עולה מ-$0$ (כש-$x \to 0^+$) אל $+\infty$ (כש-$x \to \frac{1}{e}^-$).

בקטע $x > \frac{1}{e}$: עולה מ-$-\infty$ (כש-$x \to \frac{1}{e}^+$), חוצה את ציר ה-$x$ ב-$(1, 0)$, וממשיכה לעלות אל $+\infty$.

תנאי הלוגריתם: $\;x > 0$.

המכנה $x \cdot \ln x$ אסור שיתאפס: $\;x \ne 0$ (כבר מובטח) וגם $\ln x \ne 0$.

מאחדים: כל $x > 0$ פרט ל-$x = 1$.

נתחיל באסימפטוטות אנכיות (מאונכות לציר ה-$x$): היכן שהמכנה מתאפס והמונה אינו מתאפס.

המכנה $x \ln x$ מתאפס ב-$x = 1$ (בתחום $x > 0$). המונה שם: $\;1 + \ln 1 = 1 \ne 0$ — לכן $x = 1$ אסימפטוטה אנכית.

גבולות: $\;\lim\limits_{x \to 1^-} g(x) = -\infty$ ו-$\lim\limits_{x \to 1^+} g(x) = +\infty$.

נבדוק את הקצה $x \to 0^+$: $\;\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1 + \ln x}{x \ln x}$.

כאשר $x \to 0^+$ מתקיים $\ln x \to -\infty$, ולכן $1 + \ln x \approx \ln x$.

מציבים: $\;\dfrac{\ln x}{x \ln x} = \dfrac{1}{x} \to +\infty$.

לכן $x = 0$ (ציר ה-$y$) הוא אסימפטוטה אנכית נוספת.

כעת אסימפטוטה אופקית (מאונכת לציר ה-$y$): נחשב את הגבול ב-$\infty$.

לכן $y = 0$ אסימפטוטה אופקית.

תחום: $x > 0$, $x \ne 1$; אסימפטוטות $x = 0$, $x = 1$ ו-$y = 0$.

אפס הפונקציה: $\;1 + \ln x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{e}$, כלומר חיתוך ציר ה-$x$ ב-$\left(\frac{1}{e}, 0\right)$.

בקטע $0 < x < \frac{1}{e}$: $\;g > 0$, יורדת מ-$+\infty$ (ליד $x = 0$) אל $0$ ב-$x = \frac{1}{e}$.

בקטע $\frac{1}{e} < x < 1$: $\;g < 0$, יורדת מ-$0$ אל $-\infty$ (ליד $x = 1$).

בקטע $x > 1$: $\;g > 0$, יורדת מ-$+\infty$ (ליד $x = 1$) אל $0$ (אסימפטוטה $y = 0$).

נמצא פונקציה קדומה לכל מחובר בנפרד.

$\displaystyle\int \dfrac{1}{x \ln x}\,dx = \ln|\ln x| + C\;$ (כי הנגזרת של $\ln(\ln x)$ היא $\frac{1}{x \ln x}$).

בתחום $[e^k, e^{2k}]$ מתקיים $x > 1$ ו-$\ln x > 0$, לכן הפונקציה הקדומה היא $\;F(x) = \ln(\ln x) + \ln x$.

נציב את הגבול העליון $x = e^{2k}$: $\;\ln x = 2k$, ולכן $\;F(e^{2k}) = \ln(2k) + 2k$.

נציב את הגבול התחתון $x = e^{k}$: $\;\ln x = k$, ולכן $\;F(e^{k}) = \ln k + k$.

נחשב את ההפרש: $\;\big[\ln(2k) + 2k\big] - \big[\ln k + k\big]$.

מסדרים: $\;\ln(2k) - \ln k + 2k - k = \ln\dfrac{2k}{k} + k = \ln 2 + k$.

התוצאה $k + \ln 2$ אינה תלויה ב-$\ln k$, ולכן הביטוי המתאים הוא II (ולא I).

נפצל את $g$: $\;g(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x \ln x} = \dfrac{1}{x \ln x} + \dfrac{\ln x}{x \ln x} = \dfrac{1}{x \ln x} + \dfrac{1}{x}$.

זהו בדיוק האינטגרנד מסעיף ה1.

בקטע $[e^2, e^4]$ מתקיים $x > 1$, לכן $g(x) > 0$ — הגרף מעל ציר ה-$x$ והשטח שווה לאינטגרל.

זהו המקרה $k = 2$ בסעיף ה1 (כי $e^k = e^2$ ו-$e^{2k} = e^4$).

לפי התוצאה $k + \ln 2$: $\;S = 2 + \ln 2$.