קיץ 2025 · מועד ב

מהנתון $z_1 z_2 = -51 + 12i$ ו-$z_1 = 6 + 3i$: $\;z_2 = \dfrac{-51 + 12i}{6 + 3i}$.

מכפילים מונה ומכנה בצמוד המכנה $6 - 3i$: $\;z_2 = \dfrac{(-51 + 12i)(6 - 3i)}{(6 + 3i)(6 - 3i)}$.

המכנה (הפרש ריבועים): $\;(6 + 3i)(6 - 3i) = 36 - 9i^2 = 36 + 9 = 45$.

פותחים את המונה: $\;(-51 + 12i)(6 - 3i) = -306 + 153i + 72i - 36i^2$.

מציבים $i^2 = -1$: $\;-306 + 153i + 72i + 36 = -270 + 225i$.

מחלקים ב-$45$: $\;z_2 = \dfrac{-270 + 225i}{45} = -6 + 5i$.

מחשבים את אגף ימין: $\;z_1 + z_2 = (6 + 3i) + (-6 + 5i) = 8i$.

המשוואה: $\;w^3 = 8i$.

כותבים את $8i$ בצורה קוטבית: $\;8i = 8\,\text{cis}\,90°$.

נוסחת השורש השלישי: $\;w_k = \sqrt[3]{8}\,\text{cis}\!\left(\dfrac{90° + 360°k}{3}\right) = 2\,\text{cis}(30° + 120°k)$.

נתון $z = 2\,\text{cis}\,\theta$, ולכן $\;z^3 = 2^3\,\text{cis}\,3\theta = 8\,\text{cis}\,3\theta$.

שני מספרים נמצאים על ישר אחד דרך הראשית כאשר הפרש הארגומנטים שלהם הוא כפולה של $180°$.

התנאי: $\;3\theta - \theta = 180°k$.

מפשטים: $\;2\theta = 180°k \Rightarrow \theta = 90°k$.

בתחום $0° \le \theta < 360°$ מתקבלים: $\;\theta = 0°,\ 90°,\ 180°,\ 270°$.

כל שבעת המספרים מסעיפים ב ו-ג נמצאים על מעגל ברדיוס $2$ סביב הראשית.

מסעיף ב — זוויות $30°,\ 150°,\ 270°$; מסעיף ג — זוויות $0°,\ 90°,\ 180°,\ 270°$.

הזווית $270°$ חוזרת בשתי הקבוצות, ולכן יש $6$ קודקודים שונים: $\;0°,\ 30°,\ 90°,\ 150°,\ 180°,\ 270°$.

מסדרים את הקודקודים לפי הזווית ומחברים ביניהם — מתקבל מצולע קמור בן $6$ צלעות (ראו שרטוט).

מחלקים את המצולע ל-$6$ משולשים מרכזיים (קודקוד משותף בראשית, שתי צלעות $R = 2$).

שטח משולש מרכזי עם זווית מרכזית $\gamma$: $\;\dfrac{R^2 \sin\gamma}{2} = \dfrac{4\sin\gamma}{2} = 2\sin\gamma$.

הזוויות המרכזיות (ההפרשים בין קודקודים סמוכים): $\;30°,\ 60°,\ 60°,\ 30°,\ 90°,\ 90°$.

סוכמים: $\;S = 2(\sin30° + \sin60° + \sin60° + \sin30° + \sin90° + \sin90°)$.

מציבים $\sin30° = \tfrac{1}{2}$, $\sin60° = \tfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin90° = 1$: $\;S = 2\!\left(2 \cdot \tfrac{1}{2} + 2 \cdot \tfrac{\sqrt3}{2} + 2 \cdot 1\right)$.

מפשטים: $\;S = 2(1 + \sqrt3 + 2) = 2(3 + \sqrt3) = 6 + 2\sqrt3$.

כפל ב-$4(\cos\alpha + i\sin\alpha) = 4\,\text{cis}\,\alpha$ מסובב כל נקודה בזווית $\alpha$ ומכפיל את גודלה (מרחקה מהראשית) פי $4$.

הסיבוב אינו משנה שטח; הגדלת כל המרחקים פי $4$ (הומותטיה) מגדילה את השטח פי $4^2$.

לכן $\;\dfrac{S'}{S} = 4^2 = 16$, כאשר $S'$ הוא שטח המצולע החדש.

אפשר גם לוודא ישירות: המצולע החדש חסום במעגל ברדיוס $2 \cdot 4 = 8$, והיחס $\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16$.