קיץ 2025 · מועד ב

מהמשוואה $\dfrac{x^2}{25k^2} + \dfrac{y^2}{16k^2} = 1$ מזהים $a^2 = 25k^2$ ו-$b^2 = 16k^2$.

מכיוון ש-$k > 0$: חצי-הציר הגדול $a = 5k$ וחצי-הציר הקטן $b = 4k$.

הקשר בין הצירים למוקד באליפסה: $\;c^2 = a^2 - b^2$.

מציבים: $\;c^2 = 25k^2 - 16k^2 = 9k^2$.

מוציאים שורש (כי $k>0$): $\;c = 3k$.

המוקד הימני נמצא על ציר ה-$x$ במרחק $c$ מהראשית: $\;F(3k,\, 0)$.

האליפסה חותכת את החלק החיובי של ציר ה-$x$ בקודקוד $(a, 0) = (5k,\, 0)$ — דרכו עובר המעגל.

רדיוס המעגל הוא המרחק מ-$F$ אל נקודה זו: $\;R = 5k - 3k = 2k$.

משוואת מעגל שמרכזו $F(3k, 0)$ ורדיוסו $2k$: $\;(x - 3k)^2 + y^2 = (2k)^2$.

הנקודה $B$ היא חיתוך האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה-$y$, כלומר הקודקוד $(0, b) = (0,\, 4k)$.

אורך הקטע $BF$ לפי נוסחת המרחק בין $B(0, 4k)$ ל-$F(3k, 0)$: $\;BF = \sqrt{(3k - 0)^2 + (0 - 4k)^2}$.

מפשטים: $\;BF = \sqrt{9k^2 + 16k^2} = \sqrt{25k^2} = 5k$.

הנקודה $D$ על המעגל, ולכן מרחקה מהמרכז $F$ שווה לרדיוס: $\;DF = R = 2k$.

הנקודה $D$ נמצאת על הקטע $BF$, לכן $\;BD = BF - DF = 5k - 2k = 3k$.

היחס המבוקש: $\;\dfrac{BD}{DF} = \dfrac{3k}{2k} = \dfrac{3}{2}$.

הנקודה $D$ מחלקת את הקטע $BF$ ביחס $\;BD : DF = 3 : 2$ (מ-$B$ אל $F$).

נוסחת חלוקת קטע ביחס $m : n$ מ-$B$ אל $F$: הנקודה היא $\dfrac{n \cdot B + m \cdot F}{m + n}$, עם $m = 3,\ n = 2$.

שיעור ה-$x$: $\;x_D = \dfrac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 3k}{2 + 3} = \dfrac{9k}{5}$.

שיעור ה-$y$: $\;y_D = \dfrac{2 \cdot 4k + 3 \cdot 0}{2 + 3} = \dfrac{8k}{5}$.

המשיק למעגל בנקודה $D$ מאונך לרדיוס $FD$ בנקודת ההשקה.

הרדיוס $FD$ מונח על הישר $BF$, לכן נחשב תחילה את שיפוע $BF$.

שיפוע $BF$ דרך $B(0, 4k)$ ו-$F(3k, 0)$: $\;m_{BF} = \dfrac{0 - 4k}{3k - 0} = -\dfrac{4}{3}$.

המשיק מאונך לרדיוס, לכן שיפועו הוא הנגדי-ההופכי: $\;m = \dfrac{3}{4}$.

משוואת המשיק דרך $D\left(\frac{9k}{5}, \frac{8k}{5}\right)$ בשיפוע $\frac{3}{4}$: $\;y - \dfrac{8k}{5} = \dfrac{3}{4}\left(x - \dfrac{9k}{5}\right)$.

פותחים סוגריים: $\;y - \dfrac{8k}{5} = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{27k}{20}$.

מבודדים את $y$: $\;y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{27k}{20} + \dfrac{8k}{5}$.

מאחדים את איברי $k$ (מכנה משותף $20$): $\;-\dfrac{27k}{20} + \dfrac{32k}{20} = \dfrac{5k}{20} = \dfrac{k}{4}$.

משוואת המשיק: $\;y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{k}{4}$.

בצורה כללית (מכפילים ב-$4$ ומעבירים אגף): $\;-3x + 4y - k = 0$.

הצלע מסעיף ג מונחת על המשיק $\;-3x + 4y - k = 0$.

הצלע הנגדית מקבילה למשיק, לכן משוואתה $\;-3x + 4y + c = 0$ עבור קבוע $c$.

אורך צלע הריבוע, $9$, שווה למרחק בין שתי הצלעות המקבילות.

המרחק בין הישרים המקבילים $-3x + 4y - k = 0$ ו-$-3x + 4y + c = 0$: $\;d = \dfrac{|c - (-k)|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = \dfrac{|c + k|}{5}$.

משווים למרחק $9$: $\;\dfrac{|c + k|}{5} = 9$, כלומר $|c + k| = 45$.

נציב את $B(0, 4k)$ במשוואת המשיק: $\;-3 \cdot 0 + 4 \cdot 4k - k = 15k > 0$, כלומר $B$ נמצאת מעל המשיק.

כדי ש-$B$ תהיה בתוך הריבוע הצלע הנגדית רחוקה יותר באותו כיוון, ולכן בוחרים $\;c + k = -45$.

מבודדים: $\;c = -k - 45$.

משוואת הישר שעליו נמצאת הצלע המקבילה: $\;-3x + 4y - k - 45 = 0$.

הנקודה $B$ היא מפגש האלכסונים, כלומר מרכז הריבוע.

מרכז ריבוע נמצא במרחק חצי-צלע מכל צלע: $\;\dfrac{9}{2} = 4.5$.

בפרט, המרחק מ-$B$ אל המשיק (הצלע מסעיף ג) שווה $4.5$.

מרחק מ-$B(0, 4k)$ אל הישר $-3x + 4y - k = 0$: $\;d = \dfrac{|-3 \cdot 0 + 4 \cdot 4k - k|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}}$.

מפשטים (כי $k > 0$): $\;d = \dfrac{|15k|}{5} = 3k$.

משווים למרחק הנדרש: $\;\dfrac{15k}{5} = 4.5$, כלומר $15k = 22.5$.

מבודדים: $\;k = \dfrac{22.5}{15} = \dfrac{3}{2}$.