קיץ 2025 · מועד ב

נפרק את $\overrightarrow{O'N}$ לאורך מסלול: $\;\overrightarrow{O'N} = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AN}$.

לפי הסימון: $\;\overrightarrow{O'O} = -\underline{w}$ ו-$\overrightarrow{OA} = \underline{u}$.

נחשב את $\overrightarrow{AE}$: $\;\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'E}$.

מציבים $\overrightarrow{AO} = -\underline{u}$, $\overrightarrow{OO'} = \underline{w}$ ו-$\overrightarrow{O'E} = \frac{1}{3}\overrightarrow{O'B}$: $\;\overrightarrow{AE} = -\underline{u} + \underline{w} + \frac{1}{3}\overrightarrow{O'B}$.

וקטור האלכסון: $\;\overrightarrow{O'B} = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OB} = -\underline{w} + \underline{v}$.

מציבים: $\;\overrightarrow{AE} = -\underline{u} + \underline{w} + \frac{1}{3}(-\underline{w} + \underline{v})$.

מסדרים: $\;\overrightarrow{AE} = -\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{2}{3}\underline{w}$.

מציבים ב-$\overrightarrow{AN} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$: $\;\overrightarrow{AN} = -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}$.

חוזרים ל-$\overrightarrow{O'N} = -\underline{w} + \underline{u} + \overrightarrow{AN}$: $\;\overrightarrow{O'N} = -\underline{w} + \underline{u} - \frac{3}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}$.

אוספים מקדמים: $\;\overrightarrow{O'N} = \frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$.

נחשב את $\overrightarrow{O'K}$: $\;\overrightarrow{O'K} = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AK}$.

$K$ אמצע $AB$, לכן $\;\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(-\underline{u} + \underline{v})$.

מציבים: $\;\overrightarrow{O'K} = -\underline{w} + \underline{u} + \frac{1}{2}(-\underline{u} + \underline{v})$.

מסדרים: $\;\overrightarrow{O'K} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$.

משווים ל-$\overrightarrow{O'N} = \frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$: כל מקדם ב-$\overrightarrow{O'N}$ הוא חצי מהמקדם המתאים ב-$\overrightarrow{O'K}$.

לכן $\;\overrightarrow{O'N} = \frac{1}{2}\overrightarrow{O'K}$.

הוקטורים $\overrightarrow{O'N}$ ו-$\overrightarrow{O'K}$ מקבילים ויוצאים מאותה נקודה $O'$, ולכן $O'$, $N$, $K$ נמצאות על ישר אחד ($N$ אף אמצע $O'K$).

מהקשר $\overrightarrow{O'K} = 2\,\overrightarrow{O'N}$ נובע היחס: $\;\dfrac{O'K}{O'N} = 2$.

מציאת $N$: $\;\overrightarrow{AN} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4}(E - A)$.

מחשבים את $E - A = (0 - 12,\ 3 - 0,\ 18 - 0) = (-12,\ 3,\ 18)$.

לכן $\;\overrightarrow{AN} = \frac{3}{4}(-12,\ 3,\ 18) = \left(-9,\ \tfrac{9}{4},\ \tfrac{27}{2}\right)$.

הנקודה $\;N = A + \overrightarrow{AN} = (12,\ 0,\ 0) + \left(-9,\ \tfrac{9}{4},\ \tfrac{27}{2}\right)$.

מסכמים: $\;N = \left(3,\ \tfrac{9}{4},\ \tfrac{27}{2}\right)$, כלומר $N(3,\ 2.25,\ 13.5)$.

מציאת $B$: נסמן $B(0,\ y,\ 0)$ (על ציר $y$ חיובי) ו-$O'(0,\ 0,\ z)$ (על ציר $z$ חיובי).

הנתון $\overrightarrow{O'E} = \frac{1}{3}\overrightarrow{O'B}$ נותן $\;E - O' = \frac{1}{3}(B - O')$.

מציבים: $\;(0,\ 3,\ 18) - (0,\ 0,\ z) = \frac{1}{3}\big((0,\ y,\ 0) - (0,\ 0,\ z)\big)$.

כלומר $\;(0,\ 3,\ 18 - z) = \left(0,\ \tfrac{1}{3}y,\ -\tfrac{1}{3}z\right)$.

רכיב $y$: $\;3 = \tfrac{1}{3}y \Rightarrow y = 9$.

רכיב $z$: $\;18 - z = -\tfrac{1}{3}z \Rightarrow 18 = \tfrac{2}{3}z \Rightarrow z = 27$.

לכן $\;B(0,\ 9,\ 0)$ (וגם $O'(0,\ 0,\ 27)$).

במנסרה ישרה הפאה העליונה מוזזת ב-$\overrightarrow{OO'} = (0, 0, 27)$: $\;A' = (12,\ 0,\ 27)$ ו-$B' = (0,\ 9,\ 27)$.

הנקודה $K$ אמצע $AB$: $\;K = \frac{A + B}{2} = \frac{(12, 0, 0) + (0, 9, 0)}{2} = (6,\ 4.5,\ 0)$.

וקטור כיוון ראשון במישור: $\;\overrightarrow{KA'} = A' - K = (6,\ -4.5,\ 27)$.

וקטור כיוון שני: $\;\overrightarrow{KB'} = B' - K = (-6,\ 4.5,\ 27)$.

הנורמל $\vec{n} = (a, b, c)$ מאונך לשניהם: $\;6a - 4.5b + 27c = 0$ וגם $-6a + 4.5b + 27c = 0$.

מחברים את שתי המשוואות: $\;54c = 0 \Rightarrow c = 0$.

מחסרים: $\;12a - 9b = 0 \Rightarrow b = \frac{4}{3}a$. בוחרים $a = 3$, ואז $b = 4$, $\;\vec{n} = (3,\ 4,\ 0)$.

משוואת המישור: $\;3x + 4y + d = 0$. מציבים $A'(12, 0, 27)$: $\;3 \cdot 12 + 4 \cdot 0 + d = 0 \Rightarrow d = -36$.

משוואת המישור: $\;3x + 4y - 36 = 0$.

נוסחת המרחק מנקודה $N(x_0, y_0, z_0)$ למישור $3x + 4y - 36 = 0$: $\;d = \dfrac{|3x_0 + 4y_0 - 36|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$.

מציבים $N(3,\ 2.25,\ 13.5)$: $\;d = \dfrac{|3 \cdot 3 + 4 \cdot 2.25 - 36|}{\sqrt{9 + 16}}$.

המונה: $\;|9 + 9 - 36| = |-18| = 18$.

המכנה: $\;\sqrt{25} = 5$.

לכן $\;d = \dfrac{18}{5} = 3.6$.

נפח הפירמידה (בסיס $A'KB'$, גובה = המרחק מ-$N$ למישור): $\;V = \frac{1}{3} \cdot S_{A'KB'} \cdot d$.

אורך $A'B'$: $\;A'B' = |B' - A'| = |(-12,\ 9,\ 0)| = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$.

אמצע $A'B'$ הוא $M'(6,\ 4.5,\ 27)$, והוא נמצא ישירות מעל $K(6,\ 4.5,\ 0)$.

לכן הגובה מ-$K$ אל $A'B'$ הוא הקטע האנכי $KM'$ שאורכו $27$.

שטח המשולש: $\;S_{A'KB'} = \frac{A'B' \cdot KM'}{2} = \frac{15 \cdot 27}{2} = 202.5$.

מציבים $S_{A'KB'} = 202.5$ ו-$d = 3.6$: $\;V = \frac{1}{3} \cdot 202.5 \cdot 3.6$.

מחשבים: $\;V = \frac{202.5 \cdot 3.6}{3} = \frac{729}{3} = 243$.