קיץ 2025 · מועד ב

אסימפטוטה אופקית נמצאת על-ידי חישוב הגבול של $f(x)$ בקצוות התחום.

נחשב תחילה את הגבול ב-$+\infty$. נחלק את מונה ומכנה השבר ב-$e^x$:

כאשר $x \to \infty$ הפונקציה $e^x$ גדלה מהר הרבה יותר מ-$x$, ולכן $\dfrac{x}{e^x} \to 0$.

מציבים: $\;\dfrac{1 + 0}{1 - 0} = 1$.

מוסיפים את $b$: $\;\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 1 + b$.

כעת הגבול ב-$-\infty$. כאן $e^x \to 0$, לכן נחלק את מונה ומכנה השבר ב-$x$:

כאשר $x \to -\infty$ מתקיים $e^x \to 0$, ולכן $\dfrac{e^x}{x} \to 0$.

מציבים: $\;\dfrac{0 + 1}{0 - 1} = -1$.

מוסיפים את $b$: $\;\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b - 1$.

לפונקציה שתי אסימפטוטות אופקיות שונות.

נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ מתקבלת בהצבת $x = 0$.

מכיוון ש-$e^0 = 1$: $\;f(0) = \dfrac{1 + 0}{1 - 0} + b$.

מפשטים: $\;f(0) = 1 + b$.

נגזור את $f(x)$. הקבוע $b$ נגזרתו $0$, ואת השבר נגזור לפי כלל המנה.

נפתח את האיבר הראשון במונה: $\;(e^x + 1)(e^x - x) = e^{2x} - xe^x + e^x - x$.

נפתח את האיבר השני: $\;(e^x + x)(e^x - 1) = e^{2x} - e^x + xe^x - x$.

נחסר את השני מהראשון: $\;(e^{2x} - xe^x + e^x - x) - (e^{2x} - e^x + xe^x - x)$.

מצטמצם ל: $\;2e^x - 2xe^x = 2e^x(1 - x)$.

לכן $\;f'(x) = \dfrac{2e^x(1 - x)}{(e^x - x)^2}$.

נשווה ל-$0$. המכנה $(e^x - x)^2 > 0$ תמיד, וגם $2e^x > 0$ תמיד.

לכן מספיק $\;1 - x = 0$, כלומר $\;x = 1$.

נקבע את הסוג לפי סימן הנגזרת, שתלוי רק ב-$(1 - x)$:

עבור $x < 1$: $\;1 - x > 0$, לכן $f' > 0$ — הפונקציה עולה.

עבור $x > 1$: $\;1 - x < 0$, לכן $f' < 0$ — הפונקציה יורדת.

עולה לפני $x = 1$ ויורדת אחריו, ולכן זו נקודת מקסימום.

נחשב את ערך ה-$y$: $\;f(1) = \dfrac{e^1 + 1}{e^1 - 1} + b = \dfrac{e + 1}{e - 1} + b$.

מסעיף א(1) יש שתי אסימפטוטות אופקיות: $\;y = 1 + b\;$ ו-$\;y = b - 1$.

אחת מהן שווה ל-$1.5$, ולכן יש שתי אפשרויות.

אפשרות ראשונה: $\;1 + b = 1.5 \;\Rightarrow\; b = 0.5$.

אפשרות שנייה: $\;b - 1 = 1.5 \;\Rightarrow\; b = 2.5$.

נציב $b = 0.5$, כלומר $\;f(x) = \dfrac{e^x + x}{e^x - x} + 0.5$.

אסימפטוטה אופקית ימנית ($x \to \infty$): $\;y = 1 + 0.5 = 1.5$.

אסימפטוטה אופקית שמאלית ($x \to -\infty$): $\;y = 0.5 - 1 = -0.5$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $\;(0,\ 1 + 0.5) = (0,\ 1.5)$.

נקודת מקסימום: $\;\left(1,\ \dfrac{e + 1}{e - 1} + 0.5\right) \approx (1,\ 2.66)$.

הפונקציה עולה בכל $x < 1$ ויורדת בכל $x > 1$.

מימין למקסימום הגרף יורד ומתקרב לאסימפטוטה $y = 1.5$ מלמעלה.

משמאל, ככל ש-$x$ קטֵן, הגרף יורד ומתקרב לאסימפטוטה $y = -0.5$.

הנגזרת אינה תלויה ב-$b$ (נגזרת הקבוע היא $0$): $\;f'(x) = \dfrac{2e^x(1 - x)}{(e^x - x)^2}$.

נפתח את המכנה כדי לחשב גבולות: $\;f'(x) = \dfrac{2e^x - 2xe^x}{e^{2x} - 2xe^x + x^2}$.

נחשב את הגבול ב-$+\infty$ — נחלק מונה ומכנה ב-$e^{2x}$:

כל מנה מהצורה $\dfrac{x^k}{e^{mx}}$ שואפת ל-$0$, כי $e^x$ גדלה מהר יותר מכל חזקה של $x$.

מציבים: $\;\lim\limits_{x \to \infty} f'(x) = \dfrac{0 - 0}{1 - 0 + 0} = 0$.

נחשב את הגבול ב-$-\infty$. כאן $e^x \to 0$, לכן המונה $2e^x(1 - x) \to 0$ (המעריכי מנצח את $1 - x$).

המכנה $(e^x - x)^2 \to \infty$ (כי $-x \to \infty$).

מציבים: $\;\lim\limits_{x \to -\infty} f'(x) = \dfrac{0}{\infty} = 0$.

בשני הכיוונים הגבול הוא $0$.

נסתמך על $\;f'(x) = \dfrac{2e^x(1 - x)}{(e^x - x)^2}$.

אסימפטוטה אופקית: $\;y = 0$ בשני הכיוונים (מסעיף ד(1)).

אפס הנגזרת: $\;f'(1) = 0$ — שם ל-$f$ יש מקסימום, ולכן גרף $f'$ חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $(1,\ 0)$.

סימן הנגזרת: $\;f' > 0$ עבור $x < 1$ (הגרף מעל ציר ה-$x$) ו-$f' < 0$ עבור $x > 1$ (מתחת לציר).

נקודת הפיתול של $f$ ב-$x = 0$ פירושה שלנגזרת $f'$ יש קיצון ב-$x = 0$.

ערך הנגזרת שם: $\;f'(0) = \dfrac{2e^0(1 - 0)}{(e^0 - 0)^2} = \dfrac{2 \cdot 1 \cdot 1}{1} = 2$.

לכן ל-$f'$ יש נקודת מקסימום $(0,\ 2)$.

מימין ל-$x = 1$ הנגזרת שלילית, יורדת למינימום (נקודת הפיתול השנייה של $f$) ואז עולה בחזרה אל האסימפטוטה $y = 0$ מלמטה.

נסמן $\;g(x) = f(x) - 1.5$. האינטגרל הוא השטח שבין גרף $f$ לישר $y = 1.5$ בקטע $[0, 1]$.

בקצה השמאלי: $\;g(0) = f(0) - 1.5 = 1.5 - 1.5 = 0$.

בקצה הימני נשתמש ב-$f(1) = \dfrac{e + 1}{e - 1} + 0.5$, ולכן $\;g(1) = \dfrac{e + 1}{e - 1} + 0.5 - 1.5$.

מפשטים: $\;g(1) = \dfrac{e + 1}{e - 1} - 1 = \dfrac{(e + 1) - (e - 1)}{e - 1} = \dfrac{2}{e - 1}$.

בקטע $[0, 1]$ הפונקציה $f$ עולה (כי $x < 1$), לכן $g(x) \ge 0$ — כל השטח מעל ציר ה-$x$.

נשווה לשטח של משולש ישר-זווית עם הקודקודים $(0, 0)$, $(1, 0)$ ו-$\left(1,\ g(1)\right)$.

שטח המשולש: $\;S_\triangle = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot g(1) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{e - 1} = \dfrac{1}{e - 1}$.

נקודת הפיתול של $f$ היא ב-$x = 0$, ובקטע $[0, 1]$ (בין שתי נקודות הפיתול) הגרף קעור כלפי מטה.

פונקציה קעורה כלפי מטה נמצאת מעל המיתר המחבר את קצותיה — כלומר גרף $g$ מעל הקטע הישר מ-$(0, 0)$ אל $\left(1,\ g(1)\right)$.

לכן השטח שמתחת ל-$g$ גדול משטח המשולש: $\;\int_0^1 g(x)\,dx > S_\triangle = \dfrac{1}{e - 1}$.

מכאן שהטענה נכונה.