קיץ 2025 · מועד א

תנאי הלוגריתם: הארגומנט חיובי, כלומר $\;x^n > 0$.

מכיוון ש-$n$ זוגי, מתקיים $x^n > 0$ לכל $x \ne 0$ (ו-$x^n = 0$ רק כאשר $x = 0$).

לכן יש לפסול רק את $x = 0$.

נבדוק זוגיות: $\;f(-x) = \ln\big((-x)^n\big)$.

מכיוון ש-$n$ זוגי, $(-x)^n = x^n$, ולכן $\;f(-x) = \ln(x^n) = f(x)$.

כלומר הפונקציה זוגית — הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$.

בנוסף: כאשר $x \to 0$ מתקיים $x^n \to 0^+$ ולכן $f \to -\infty$ (אסימפטוטה אנכית $x = 0$); וכאשר $|x| \to \infty$ מתקיים $f \to +\infty$.

הגרף היחיד שהוא סימטרי ביחס לציר ה-$y$ ומתאים לתיאור הוא גרף II.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $\;g(x) = 0$, כלומר $\big(f(x)\big)^2 - 4 = 0$.

מכאן $\;\big(f(x)\big)^2 = 4$, ולכן $\;f(x) = 2$ או $f(x) = -2$.

מקרה $f(x) = 2$: $\;\ln(x^2) = 2 \Rightarrow x^2 = e^2 \Rightarrow x = \pm e$.

מקרה $f(x) = -2$: $\;\ln(x^2) = -2 \Rightarrow x^2 = e^{-2} \Rightarrow x = \pm \dfrac{1}{e}$.

נגזור פונקציה מורכבת: $\;g'(x) = 2 f(x) \cdot f'(x)$.

נחשב $\;f'(x) = \big(\ln(x^2)\big)' = \dfrac{2x}{x^2} = \dfrac{2}{x}$.

לכן $\;g'(x) = 2 \ln(x^2) \cdot \dfrac{2}{x} = \dfrac{4 \ln(x^2)}{x}$.

נשווה ל-$0$: או $f(x) = 0$, או $f'(x) = 0$.

$f'(x) = 0$: $\;\dfrac{2}{x} = 0$ — אין פתרון.

ערך הפונקציה בנקודות: $\;g(\pm 1) = \big(\ln 1\big)^2 - 4 = 0 - 4 = -4$.

סימן $g'(x) = \dfrac{4\ln(x^2)}{x}$: המונה חיובי כש-$|x| > 1$ ושלילי כש-$|x| < 1$ (ראו טבלה).

סביב $x = -1$ הנגזרת עוברת מ-$-$ ל-$+$ — מינימום; סביב $x = 1$ הנגזרת עוברת מ-$-$ ל-$+$ — מינימום.

הפונקציה זוגית (כי $f$ זוגית), סימטרית ביחס לציר ה-$y$.

אסימפטוטה אנכית $x = 0$: כאשר $x \to 0$ מתקיים $\ln(x^2) \to -\infty$, ולכן $g = \big(\ln(x^2)\big)^2 - 4 \to +\infty$.

כאשר $|x| \to \infty$ גם $g \to +\infty$.

חיתוכי ציר $x$: $\;\pm\dfrac{1}{e}$ ו-$\pm e$; שתי נקודות מינימום $\left(\pm 1, -4\right)$.

לכל ענף (למשל $x > 0$): יורד מ-$+\infty$ (ליד $0$), חוצה ב-$\frac{1}{e}$, מגיע למינימום $(1, -4)$, חוצה ב-$e$, ועולה אל $+\infty$.

נתון $x > 0$. בנוסף נדרוש שהמכנה אינו מתאפס: $\;g(x) \ne 0$.

מסעיף ב1, בתחום $x > 0$ מתקיים $g(x) = 0$ ב-$x = \dfrac{1}{e}$ וב-$x = e$.

לכן יש לפסול אותם.

נשים לב ש-$k(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ היא נגזרת לוגריתמית: $\;\displaystyle\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln|g(x)| + C$.

בקטע $[e^2, e^3]$ מתקיים $x > e$, ולכן $g(x) > 0$ ו-$g'(x) > 0$ — כלומר $k(x) > 0$, והשטח שווה לאינטגרל.

נחשב $\;g(e^3) = \big(\ln(e^6)\big)^2 - 4 = 6^2 - 4 = 32$.

נחשב $\;g(e^2) = \big(\ln(e^4)\big)^2 - 4 = 4^2 - 4 = 12$.

מציבים: $\;S = \ln 32 - \ln 12 = \ln\dfrac{32}{12} = \ln\dfrac{8}{3}$.