קיץ 2025 · מועד א

נתונה המשוואה $\;x^2 - 8x + y^2 + t = 0$.

מעבירים את $t$ לאגף הימני: $\;x^2 - 8x + y^2 = -t$.

משלימים לריבוע את $x^2 - 8x$ — מוסיפים $16$ לשני האגפים: $\;x^2 - 8x + 16 + y^2 = 16 - t$.

כותבים את שלושת האיברים הראשונים כריבוע: $\;(x - 4)^2 + y^2 = 16 - t$.

זוהי הצורה הקנונית $(x - 4)^2 + y^2 = R^2$, ולכן מרכז המעגל הוא $M(4, 0)$ ומתקיים $\;R^2 = 16 - t$.

מוציאים שורש (אפשרי כי $t < 16$, ולכן $16 - t > 0$): $\;R = \sqrt{16 - t}$.

תנאי המשיקות: המרחק ממרכז המעגל $M(4, 0)$ אל הישר שווה לרדיוס $R$.

כותבים את הישר $y = x$ בצורה הכללית: $\;x - y = 0$.

נוסחת המרחק מנקודה $(x_0, y_0)$ אל הישר $Ax + By + C = 0$: $\;d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

מציבים את $M(4, 0)$ ואת מקדמי הישר $A = 1,\ B = -1,\ C = 0$: $\;d = \dfrac{|1 \cdot 4 + (-1) \cdot 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}}$.

מפשטים: $\;d = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$.

משווים את המרחק לרדיוס: $\;\sqrt{16 - t} = \sqrt{8}$.

מעלים בריבוע את שני האגפים: $\;16 - t = 8$.

מבודדים את $t$: $\;t = 8$.

מעגל $I$ (לאחר שמצאנו $t = 8$) הוא $\;(x - 4)^2 + y^2 = 8$, עם מרכז $(4, 0)$ ורדיוס $\sqrt{8}$.

מזיזים שמאלה כך שהמרכז עובר לראשית — מתקבל מעגל $II$: $\;x^2 + y^2 = 8$.

המיתר $AB$ מאונך לציר ה-$y$, כלומר אופקי, ולכן ל-$A$ ול-$B$ אותו שיעור $y$. נסמן $A(x_A,\, y)$ ו-$B(-x_A,\, y)$ — שתי נקודות החיתוך של הישר האופקי עם המעגל סימטריות ביחס לציר ה-$y$.

$A$ נמצאת על מעגל $II$: $\;x_A^2 + y^2 = 8$, ולכן $\;x_A = \sqrt{8 - y^2}$.

אורך המיתר: $\;AB = x_A - (-x_A) = 2x_A = 2\sqrt{8 - y^2}$.

הנקודה $P$ נמצאת על המיתר, ולכן גם לה אותו שיעור $y$. נסמן $P(x,\, y)$, והמרחק מהראשית הוא $\;PO = \sqrt{x^2 + y^2}$.

מציבים בתנאי $AB = 2\,PO$: $\;2\sqrt{8 - y^2} = 2\sqrt{x^2 + y^2}$.

מחלקים ב-$2$: $\;\sqrt{8 - y^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

מעלים בריבוע את שני האגפים: $\;8 - y^2 = x^2 + y^2$.

מסדרים: $\;x^2 + 2y^2 = 8$.

מחלקים ב-$8$ כדי לקבל את הצורה הקנונית: $\;\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.

זוהי משוואת אליפסה, ולכן המקום הגאומטרי של הנקודות $P$ נמצא על אליפסה.

מהמשוואה $\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{4} = 1$: $\;a^2 = 8$ ו-$b^2 = 4$ (הציר הגדול לאורך ציר ה-$x$, כי $a^2 > b^2$).

אורכי חצאי-הצירים: $\;a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $\;b = 2$.

מרחק המוקד מהמרכז: $\;c^2 = a^2 - b^2 = 8 - 4 = 4 \Rightarrow c = 2$.

המוקדים נמצאים על ציר ה-$x$: $\;K(2, 0)$ (ימני) ו-$F(-2, 0)$ (שמאלי).

לפי הגדרת האליפסה, סכום המרחקים מכל נקודה על האליפסה לשני המוקדים קבוע: $\;CF + CK = 2a = 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$.

הצלע השלישית של המשולש היא המרחק בין המוקדים: $\;FK = 2c = 4$.

היקף המשולש: $\;P_{CKF} = CF + CK + FK = 4\sqrt{2} + 4$.

נבחר את הצלע $FK$ (המונחת על ציר ה-$x$) כבסיס המשולש; אורכה $\;FK = 2c = 4$.

הגובה אל בסיס זה הוא המרחק מ-$C$ אל ציר ה-$x$, כלומר הערך המוחלט של שיעור ה-$y$ של $C$: $\;h = |y_C|$.

שטח המשולש: $\;S_{CKF} = \dfrac{FK \cdot h}{2} = \dfrac{4 \cdot |y_C|}{2} = 2|y_C|$.

נניח שקיימת נקודה $C$ ששטח המשולש בעבורה הוא $5$, ונציב: $\;2|y_C| = 5 \Rightarrow |y_C| = 2.5$.

אבל $C$ נמצאת על האליפסה, ולכן שיעור ה-$y$ שלה חסום: $\;-b \le y_C \le b$, כלומר $\;-2 \le y_C \le 2$ (שכן $b = 2$).

לכן הערך המרבי של $|y_C|$ הוא $2$, והשטח המרבי האפשרי הוא $\;S_{\max} = \dfrac{4 \cdot 2}{2} = 4$.

מכיוון ש-$2.5 > 2$ (וכן $5 > 4$), קיבלנו סתירה, ולכן לא קיימת נקודה $C$ כזו.