קיץ 2025 · מועד א

התנאי היחיד הוא שהמכנה אינו מתאפס: $\;a - e^x \ne 0$, כלומר $\;e^x \ne a$.

מקרה $a > 0$: למשוואה $e^x = a$ יש פתרון $\;x = \ln a$, ולכן יש לפסול אותו.

תחום ההגדרה כאשר $a > 0$: כל $x \ne \ln a$.

מקרה $a < 0$: מכיוון ש-$e^x > 0$ לכל $x$, המשוואה $e^x = a$ (עם $a < 0$) חסרת פתרון — אין מה לפסול.

תחום ההגדרה כאשר $a < 0$: כל $x$ ממשי.

נחשב את הגבול ב-$+\infty$. נחלק מונה ומכנה ב-$e^x$:

כאשר $x \to \infty$ מתקיים $\dfrac{a}{e^x} \to 0$, ולכן $\;\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \dfrac{1}{0 - 1} = -1$.

נחשב את הגבול ב-$-\infty$. כאן $e^x \to 0$:

שני הגבולות אינם תלויים בערך $a$, ולכן הם תקפים גם עבור $a > 0$ וגם עבור $a < 0$.

נגזור לפי כלל המנה את $f = \dfrac{e^x}{a - e^x}$.

נפתח את המונה: $\;e^x(a - e^x) + e^x \cdot e^x = e^x(a - e^x + e^x) = a e^x$.

לכן $\;f'(x) = \dfrac{a e^x}{(a - e^x)^2}$.

המכנה $(a - e^x)^2 > 0$ ו-$e^x > 0$ תמיד, ולכן סימן הנגזרת זהה לסימן של $a$.

מקרה $a > 0$: $\;f'(x) > 0$ — הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ($x < \ln a$ וגם $x > \ln a$), ואין תחומי ירידה.

מקרה $a < 0$: $\;f'(x) < 0$ — הפונקציה יורדת בכל הממשיים, ואין תחומי עלייה.

מקרה $a = 5 > 0$: יש אסימפטוטה אנכית ב-$x = \ln 5$ (כי $a > 0$), והפונקציה עולה (מסעיף א3).

סימן: עבור $x < \ln 5$ מתקיים $5 - e^x > 0$ ולכן $f > 0$; עבור $x > \ln 5$ מתקיים $f < 0$.

לכן הענף השמאלי עולה מ-$0$ (ב-$-\infty$) אל $+\infty$, והענף הימני עולה מ-$-\infty$ אל $y = -1$ — זהו גרף II.

מקרה $a = -5 < 0$: אין אסימפטוטה אנכית (כי $e^x \ne -5$ לעולם), והפונקציה יורדת בכל הממשיים.

הערכים: $a - e^x = -5 - e^x < 0$ תמיד, ולכן $f < 0$ בכל הממשיים — יורדת מ-$0$ (ב-$-\infty$) אל $-1$ (ב-$+\infty$) — זהו גרף III.

נדרשים שני תנאים: ש-$f(x)$ מוגדרת, ושהמכנה $f(x) + 2$ אינו מתאפס.

תנאי $f$: $\;x \ne \ln 5$ (כי $a = 5 > 0$).

תנאי המכנה: $\;f(x) + 2 \ne 0$, כלומר אסור ש-$\dfrac{e^x}{5 - e^x} = -2$.

נפתור מתי כן מתקיים: $\;e^x = -2(5 - e^x) = -10 + 2e^x$.

מכאן $\;-e^x = -10$, כלומר $e^x = 10$, ולכן $x = \ln 10$ — ערך שיש לפסול.

מאחדים: כל $x$ פרט ל-$x = \ln 5$ ו-$x = \ln 10$.

נפשט: $\;g(x) = \dfrac{1}{f(x) + 2} = \dfrac{1}{\frac{e^x}{5 - e^x} + 2} = \dfrac{5 - e^x}{10 - e^x}$.

אסימפטוטות אופקיות — נשתמש בגבולות של $f$ מסעיף א2:

לכן יש שתי אסימפטוטות אופקיות: $\;y = 1$ ו-$y = \dfrac{1}{2}$.

אסימפטוטה אנכית — היכן שהמכנה $10 - e^x$ מתאפס: $\;x = \ln 10$, ושם המונה $5 - 10 = -5 \ne 0$.

אימות: $\;\lim\limits_{x \to \ln 10^-} g(x) = -\infty$ ו-$\lim\limits_{x \to \ln 10^+} g(x) = +\infty$.

הערה: ב-$x = \ln 5$ מתקיים $g \to 0$ — זו אינה אסימפטוטה אלא נקודה חסרה (חור) בגרף, כי $f \to \pm\infty$ שם.

תחום: $x \ne \ln 5$, $x \ne \ln 10$; אסימפטוטות $x = \ln 10$, $y = 1$, $y = \frac{1}{2}$.

נגזרת: $\;g'(x) = \dfrac{-5 e^x}{(10 - e^x)^2} < 0$ — הפונקציה יורדת בכל חלקי תחומה.

ב-$x = \ln 5$ יש חור בגרף בנקודה $\left(\ln 5,\ 0\right)$ (שם $g = 0$ אך הפונקציה אינה מוגדרת).

בקטע $x < \ln 5$: יורדת מ-$y = \frac{1}{2}$ (ב-$-\infty$) אל $0$ ב-$\ln 5$; הערכים בין $0$ ל-$\frac{1}{2}$.

בקטע $\ln 5 < x < \ln 10$: יורדת מ-$0$ אל $-\infty$ (ליד $x = \ln 10$).

בקטע $x > \ln 10$: יורדת מ-$+\infty$ (ליד $x = \ln 10$) אל $y = 1$.

לא נחשב את האינטגרלים, אלא נחסום כל אחד בעזרת מלבן פשוט.

בקטע $[-6, -4]$ הערכים רחוקים משמאל, ליד האסימפטוטה $y = \frac{1}{2}$. נראה ש-$g < \frac{1}{2}$:

בקטע זה $10 - e^x > 0$, לכן הביטוי שלילי: $\;0 < g(x) < \frac{1}{2}$.

מכאן $\;\displaystyle\int_{-6}^{-4} g(x)\,dx < \frac{1}{2} \cdot \big(-4 - (-6)\big) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

בקטע $[4, 5]$ מתקיים $x > \ln 10$, ושם נראה ש-$g > 1$:

בקטע זה $10 - e^x < 0$, לכן הביטוי חיובי: $\;g(x) > 1$.

מכאן $\;\displaystyle\int_{4}^{5} g(x)\,dx > 1 \cdot (5 - 4) = 1$.

קיבלנו $\;\displaystyle\int_{-6}^{-4} g(x)\,dx < 1 < \int_{4}^{5} g(x)\,dx$.

כלומר האינטגרל השמאלי קטן מהימני — בדיוק ההפך מהטענה.